Notion

La somme des termes d'une suite

Calculer la somme des termes d'une suite, c'est ajouter plusieurs termes consécutifs, notés $S = u_{0} + u_{1} + \dots + u_{n}$ S=u₀+u₁+…+uₙ. Deux cas reviennent souvent au lycée. Pour une suite arithmétique, la somme vaut le nombre de termes multiplié par la moyenne du premier et du dernier : $S = \frac{( n + 1 ) ( u _{0} + u _{n} )}{2}$ S=((n+1)(u₀+uₙ))/2. Pour une suite géométrique de raison $q \neq = 1$ q≠1, $S = u_{0} \times \frac{1 - q ^{n + 1}}{1 - q}$ S=u₀×(1-q^(n+1))/(1-q). Bien compter le nombre de termes est essentiel : de $u_{0}$ u₀ à $u_{n}$ uₙ, il y en a $n + 1$ n+1. Ces sommes servent à modéliser un cumul (économies, remboursements, population) et interviennent dans les algorithmes de seuil.

Définitions

Somme de termes: C'est le total $S = u_{0} + u_{1} + \dots + u_{n}$ S = u₀ + u₁ + … + uₙ. Pour une suite arithmétique ou géométrique, une formule permet de la calculer directement.
Nombre de termes: De $u_{p}$ uₚ à $u_{n}$ uₙ, il y a $n - p + 1$ n-p+1 termes. L'erreur classique : de $u_{0}$ u₀ à $u_{n}$ uₙ, il y a $n + 1$ n+1 termes, pas $n$ n.

Formules

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Sommes arithmétique et géométrique →

S_{arith} = N \times \frac{1 ^{er} + dernier}{2} S_{g \overset{e}{ˊ} o} = u_{0} \times \frac{1 - q ^{N}}{1 - q}

S_arith = N × (1 ^(er) + dernier)/2 S_géo = u₀ × (1 - q^(N))/(1 - q)Une formule par type de suite.

Méthodes

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Calculer la somme des termes d'une suite →

3 étapes · exemple corrigé

Deux exercices pour vérifier

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Somme 1+…+100

Niveau 1 · Application directe

Calculer

1 + 2 + \dots + 100

1 + 2 + … + 100.

Voir la correction

1.
$100 \times \frac{1 + 100}{2}$ 100×(1+100)/2.
→ Sommes arithmétique et géométrique
2.
$= 5050$ = 5050.

Réponse :

5050

5050.

Méthode utilisée : $1 + 2 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2}$ 1+2+…+n=(n(n+1))/2.

Somme 1+…+50

Niveau 1 · Application directe

Calculer

1 + 2 + \dots + 50

1 + 2 + … + 50.

Voir la correction

1.
$50 \times \frac{1 + 50}{2} = 50 \times 25, 5$ 50×(1+50)/2 = 50× 25,5.
→ Sommes arithmétique et géométrique
2.
$= 1275$ = 1275.

Réponse :

1275

1275.

Faire les 10 exercices types sur somme des termes d'une suite8 autres exercices corrigés pas à pas, du plus simple au plus complet.

Questions fréquentes

Comment additionner beaucoup de termes d'une suite ?

On utilise une formule au lieu d'additionner un par un : pour une suite arithmétique, nombre de termes × moyenne des extrêmes ; pour une géométrique, une formule avec la raison.

Quelle est l'astuce pour 1+2+…+100 ?

C'est une somme arithmétique : 100 × (1+100)/2 = 5050. On multiplie le nombre de termes par la moyenne du premier et du dernier.

Combien de termes de u₀ à uₙ ?

Il y en a n+1, pas n. De u₀ à u₁₀, par exemple, ça fait 11 termes.

Combien y a-t-il de termes de uₚ à uₙ ?

Il y en a n − p + 1. Par exemple de u₀ à u₁₀, il y a 11 termes ; de u₃ à u₈, il y en a 6.

Comment calculer la somme d'une suite arithmétique ?

On utilise : nombre de termes × (premier + dernier) / 2. C'est la moyenne des extrêmes multipliée par le nombre de termes.

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