Exercices corrigés : Suites géométriques — Première spécialité

Correction détaillée

1. 1

   On multiplie par $q=3$q=3 à chaque étape.

2. 2

   $u_1=2\times 3=6$u₁=2× 3=6 ; $u_2=6\times 3=18$u₂=6× 3=18 ; $u_3=18\times 3=54$u₃=18× 3=54.

Rappel de cours : Suite géométrique : $u_{n+1}=q\times u_n$uₙ₊₁=q× uₙ. On multiplie toujours par la même raison.

Correction détaillée

1. 1

   On calcule les rapports : $\frac{6}{3}=2$6/3=2, $\frac{12}{6}=2$12/6=2, $\frac{24}{12}=2$24/12=2.

2. 2

   Le rapport est constant ($=2$=2) : la suite est géométrique de raison $q=2$q=2.

Rappel de cours : Une suite est géométrique si le rapport $\frac{u_{n+1}}{u_n}$uₙ₊₁/uₙ est constant.

Correction détaillée

1. 1

   $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{5\times 2^{n+1}}{5\times 2^n}=2^{n+1-n}=2$uₙ₊₁/uₙ=(5× 2ⁿ⁺¹)/(5× 2ⁿ)=2ⁿ⁺¹⁻ⁿ=2.

2. 2

   Le rapport est constant $=2$=2 : suite géométrique de raison $q=2$q=2.

Rappel de cours : Une suite de la forme $u_n=a\times q^n$uₙ=a× qⁿ est géométrique de raison $q$q.

Correction détaillée

1. 1

   Formule explicite : $u_n=u_0\times q^n=5\times 2^n$uₙ=u₀× qⁿ=5× 2ⁿ.

2. 2

   $u_6=5\times 2^6=5\times 64=320$u₆=5× 2⁶=5× 64=320.

Rappel de cours : Formule explicite : $u_n=u_0\times q^n$uₙ=u₀× qⁿ.

Correction détaillée

1. 1

   $u_n=80\times 0,5^n$uₙ=80× 0,5ⁿ, donc $u_3=80\times 0,5^3=80\times 0,125=10$u₃=80× 0,5³=80× 0,125=10.

2. 2

   $u_0>0$u₀>0 et $0<q<1$0<q<1 : la suite est décroissante (les termes diminuent vers $0$0).

Rappel de cours : Avec $u_0>0$u₀>0 : $q>1$q>1 croissante, $0<q<1$0<q<1 décroissante, $q=1$q=1 constante.

Correction détaillée

1. 1

   $u_2=u_0\times q^2$u₂=u₀× q², donc $27=3q^2$27=3q², soit $q^2=9$q²=9.

2. 2

   Les termes sont positifs, donc $q=3$q=3 (on écarte $q=-3$q=-3).

Rappel de cours : $u_n=u_p\times q^{n-p}$uₙ=uₚ× q^(n-p). Ici $q^2=\frac{u_2}{u_0}$q²=u₂/u₀ ; on choisit le signe selon les termes.

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1. 1

   Augmenter de $5\%$5% revient à multiplier par $1,05$1,05 : $P_{n+1}=1,05\times P_n$Pₙ₊₁=1,05× Pₙ.

2. 2

   C'est une suite géométrique de raison $q=1,05$q=1,05.

Rappel de cours : $+t\%$+t% $\Rightarrow$⇒ multiplier par $1+\frac{t}{100}$1+t/100 ; $-t\%$-t% $\Rightarrow$⇒ multiplier par $1-\frac{t}{100}$1-t/100.

Correction détaillée

1. 1

   Somme géométrique de raison $q=3$q=3, $7$7 termes (de $3^0$3⁰ à $3^6$3⁶).

2. 2

   $S=\frac{1-q^7}{1-q}=\frac{1-3^7}{1-3}=\frac{1-2187}{-2}=\frac{-2186}{-2}=1093$S=(1-q⁷)/(1-q)=(1-3⁷)/(1-3)=(1-2187)/(-2)=(-2186)/(-2)=1093.

Rappel de cours : Somme géométrique ($q\ne 1$q≠ 1, $n$n termes) : $(\text{1er terme})\times \frac{1-q^n}{1-q}$( 1er terme )×(1-qⁿ)/(1-q).

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1. 1

   $6$6 termes (de $u_0$u₀ à $u_5$u₅).

   $S=u_0\times \frac{1-q^6}{1-q}=2\times \frac{1-3^6}{1-3}$S=u₀×(1-q⁶)/(1-q)=2×(1-3⁶)/(1-3).

2. 2

   $3^6=729$3⁶=729, donc $S=2\times \frac{1-729}{-2}=2\times \frac{-728}{-2}=2\times 364=728$S=2×(1-729)/(-2)=2×(-728)/(-2)=2× 364=728.

Rappel de cours : De $u_0$u₀ à $u_5$u₅ : $6$6 termes, donc exposant $6$6 dans $1-q^6$1-q⁶.

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1. 1

   Le capital suit $C_n=1000\times 1,04^n$Cₙ=1000× 1,04ⁿ (géométrique de raison $1,04$1,04).

2. 2

   $C_5=1000\times 1,04^5\approx 1000\times 1,2167=1216,65$C₅=1000× 1,04⁵≈ 1000× 1,2167=1216,65 €.

Rappel de cours : Intérêts composés : $C_n=C_0\times (1+\frac{t}{100}{)}^n$Cₙ=C₀×(1+t/100)ⁿ.

Correction détaillée

1. 1

   $u_n=500\times 0,8^n$uₙ=500× 0,8ⁿ.

   On résout $500\times 0,8^n<50$500× 0,8ⁿ<50, soit $0,8^n<0,1$0,8ⁿ<0,1.

2. 2

   On applique $\ln$ln : $n\ln (0,8)<\ln (0,1)$nln(0,8)<ln(0,1).

   $\ln (0,8)<0$ln(0,8)<0, donc $n>\frac{\ln (0,1)}{\ln (0,8)}\approx 10,3$n>ln(0,1)/ln(0,8)≈ 10,3.

3. 3

   Premier entier : $n=11$n=11.

Rappel de cours : Seuil $q^n<a$qⁿ<a ($0<q<1$0<q<1) : passer au $\ln$ln et diviser par $\ln (q)<0$ln(q)<0 inverse l'inégalité.

Erreur fréquente : Inverser le sens en divisant par $\ln (0,8)<0$ln(0,8)<0, et prendre l'entier supérieur.

Correction détaillée

1. 1

   $N_n=100\times 2^n$Nₙ=100× 2ⁿ.

   On résout $100\times 2^n>10000$100× 2ⁿ>10000, soit $2^n>100$2ⁿ>100.

2. 2

   $n\ln (2)>\ln (100)$nln(2)>ln(100), donc $n>\frac{\ln (100)}{\ln (2)}\approx \frac{4,605}{0,693}\approx 6,64$n>ln(100)/ln(2)≈4,605/0,693≈ 6,64.

3. 3

   Premier entier : $n=7$n=7 heures.

Rappel de cours : Croissance géométrique : seuil par $\ln$ln. Ici $\ln (2)>0$ln(2)>0, donc le sens de l'inégalité est conservé.

Correction détaillée

1. 1

   $S_n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}=\frac{1-(1/3{)}^{n+1}}{1-1/3}=\frac{1-(1/3{)}^{n+1}}{2/3}=\frac{3}{2}\left(1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^{n+1}\right)$Sₙ=(1-qⁿ⁺¹)/(1-q)=(1-(1/3)ⁿ⁺¹)/(1-1/3)=(1-(1/3)ⁿ⁺¹)/(2/3)=3/2 (1-(1/3)ⁿ⁺¹).

2. 2

   Quand $n\to +\infty$n→+∞, ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{n+1}\to 0$(1/3)ⁿ⁺¹→ 0 (car $0<\frac{1}{3}<1$0<1/3<1).

3. 3

   Donc $S_n\to \frac{3}{2}$Sₙ→3/2.

Rappel de cours : Pour $-1<q<1$-1<q<1, la somme $1+q+q^2+\cdots$1+q+q²+… converge vers $\frac{1}{1-q}$1/(1-q).

Correction détaillée

1. 1

   Baisser de $10\%$10% = multiplier par $0,9$0,9.

   Après $n$n ans, le prix vaut $P_0\times 0,9^n$P₀× 0,9ⁿ.

   On cherche $0,9^n<0,5$0,9ⁿ<0,5.

2. 2

   $n\ln (0,9)<\ln (0,5)$nln(0,9)<ln(0,5).

   $\ln (0,9)<0$ln(0,9)<0, donc $n>\frac{\ln (0,5)}{\ln (0,9)}\approx \frac{-0,693}{-0,105}\approx 6,58$n>ln(0,5)/ln(0,9)≈(-0,693)/(-0,105)≈ 6,58.

3. 3

   Premier entier : $n=7$n=7 ans.

Rappel de cours : Des baisses successives identiques se modélisent par une suite géométrique $0,9^n$0,9ⁿ, pas par une simple soustraction.

Erreur fréquente : Dix baisses de $10\%$10% ne font PAS $-100\%$-100% : chaque baisse s'applique au prix déjà réduit (effet multiplicatif).