Notion

Le sens de variation d'une suite

Q: Comment savoir si une suite est croissante ?

On calcule u(n+1) − u(n). Si c'est positif pour tout n, la suite est croissante ; si c'est négatif, elle est décroissante.

Q: Pour une suite arithmétique, c'est plus simple ?

Oui : il suffit de regarder le signe de la raison r. r > 0 croissante, r < 0 décroissante, r = 0 constante.

Q: Et pour une suite géométrique ?

Avec des termes positifs : q > 1 croissante, 0 < q < 1 décroissante, q = 1 constante.

Q: Comment étudier le sens de variation d'une suite ?

On étudie le signe de uₙ₊₁ − uₙ : si c'est toujours positif, la suite est croissante ; toujours négatif, décroissante.

Étudier le sens de variation d'une suite $(u_{n})$ (uₙ), c'est déterminer si ses termes augmentent, diminuent ou restent constants quand $n$ n grandit. Une suite est croissante lorsque $u_{n + 1} \geq u_{n}$ uₙ₊₁≥ uₙ pour tout $n$ n, décroissante lorsque $u_{n + 1} \leq u_{n}$ uₙ₊₁≤ uₙ, et monotone si elle garde le même sens. Trois méthodes reviennent au bac : étudier le signe de la différence $u_{n + 1} - u_{n}$ uₙ₊₁-uₙ ; pour une suite à termes strictement positifs, comparer le quotient $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}}$ uₙ₊₁/uₙ à $1$ 1 ; ou, lorsque $u_{n} = f (n)$ uₙ=f(n), utiliser le sens de variation de la fonction $f$ f. Le sens de variation sert ensuite à encadrer la suite, à prouver qu'elle est majorée ou minorée, et à conclure sur sa convergence.

Définitions

Suite croissante / décroissante: Croissante : $u_{n + 1} \geq u_{n}$ uₙ₊₁ ≥ uₙ pour tout $n$ n. Décroissante : $u_{n + 1} \leq u_{n}$ uₙ₊₁ ≤ uₙ. On le détermine par le signe de $u_{n + 1} - u_{n}$ uₙ₊₁ - uₙ.
Suite monotone: Une suite est monotone si elle est soit croissante pour tout $n$ n, soit décroissante pour tout $n$ n. Si l'inégalité est stricte ( $u_{n + 1} > u_{n}$ uₙ₊₁>uₙ ou $u_{n + 1} < u_{n}$ uₙ₊₁<uₙ), la suite est strictement monotone.

Formules

Les formules à connaître. Clique sur une formule pour la fiche détaillée.

Étude par la différence →

u_{n + 1} - u_{n} > 0 \Rightarrow croissante < 0 \Rightarrow d \overset{e}{ˊ} croissante

uₙ₊₁ - uₙ > 0 ⇒ croissante < 0 ⇒ décroissanteLe signe de u(n+1) − u(n) donne le sens.

Méthodes

Les démarches pas à pas. Clique pour la méthode complète avec exemple résolu.

Étudier le sens de variation d'une suite →

2 étapes · exemple corrigé

Deux exercices pour vérifier

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Suite affine

Niveau 1 · Application directe

Sens de variation de

u_{n} = 2 n + 1

uₙ = 2n + 1 ?

Voir la correction

1.
$u_{n + 1} - u_{n} = 2 > 0$ uₙ₊₁ - uₙ = 2 > 0.
→ Étude par la différence

Réponse : Croissante.

Suite décroissante

Niveau 1 · Application directe

Sens de variation de

u_{n} = 10 - 3 n

uₙ = 10 - 3n ?

Voir la correction

1.
$u_{n + 1} - u_{n} = - 3 < 0$ uₙ₊₁ - uₙ = -3 < 0.
→ Étude par la différence

Réponse : Décroissante.

Faire les 10 exercices types sur sens de variation d'une suite8 autres exercices corrigés pas à pas, du plus simple au plus complet.

Questions fréquentes

Comment savoir si une suite est croissante ?

On calcule u(n+1) − u(n). Si c'est positif pour tout n, la suite est croissante ; si c'est négatif, elle est décroissante.

Pour une suite arithmétique, c'est plus simple ?

Oui : il suffit de regarder le signe de la raison r. r > 0 croissante, r < 0 décroissante, r = 0 constante.

Et pour une suite géométrique ?

Avec des termes positifs : q > 1 croissante, 0 < q < 1 décroissante, q = 1 constante.

Comment étudier le sens de variation d'une suite ?

On étudie le signe de uₙ₊₁ − uₙ : si c'est toujours positif, la suite est croissante ; toujours négatif, décroissante.

Une suite géométrique de raison q > 1 est-elle croissante ?

Si le premier terme est positif et q > 1, oui. Le sens dépend du signe du premier terme et de la valeur de q.

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