Sommes arithmétique et géométrique : la formule et un exemple

Ce que dit la formule

Arithmétique : nombre de termes $N$ N fois la moyenne du premier et du dernier. Géométrique ( $q \neq = 1$ q ≠ 1) : premier terme fois $\frac{1 - q ^{N}}{1 - q}$ (1 - q^(N))/(1 - q).

Bien compter le nombre de termes $N$ N.

Le premier réflexe n'est pas de calculer mais d'identifier : arithmétique ou géométrique ? Les deux formules n'ont rien de commun, et appliquer la mauvaise donne un résultat sans aucun rapport.

Pour la somme géométrique, la condition $q \neq = 1$ q ≠ 1 est indispensable : si $q = 1$ q = 1, tous les termes sont égaux et la somme vaut simplement $N \times u_{0}$ N × u₀.

Exemple

1 + 2 + \dots + 100 = 100 \times \frac{1 + 100}{2} = 5050

1 + 2 + … + 100 = 100×(1+100)/2 = 5050 (arithmétique).

Deuxième exemple

1 + 2 + 4 + \dots + 128

1 + 2 + 4 + … + 128 : suite géométrique de premier terme

1

1, de raison

2

2, à

8

8 termes.

S = 1 \times \frac{1 - 2 ^{8}}{1 - 2} = \frac{1 - 256}{- 1} = 255

S = 1 × (1 - 2⁸)/(1 - 2) = (1 - 256)/(-1) = 255.

Piège à éviter

u_{0}

u₀ à

u_{n}

uₙ, il y a

n + 1

n+1 termes.

Questions fréquentes

Comment reconnaître le type de suite ?

On teste la différence de deux termes consécutifs, puis leur rapport. L'un des deux est constant, et c'est lui qui désigne la formule à employer.

Que vaut la somme géométrique si la raison vaut 1 ?

La formule ne s'applique pas, son dénominateur serait nul. Tous les termes valant

u_{0}

u₀, la somme vaut

N \times u_{0}

N × u₀.

L'exposant est-il le nombre de termes ou le dernier rang ?

Le nombre de termes. De

u_{0}

u₀ à

u_{7}

u₇, il y a

8

8 termes, donc l'exposant vaut

8

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