Somme d'une suite arithmétique : la formule et un exemple

Ce que dit la formule

On multiplie le nombre de termes $N$ N par la moyenne du premier et du dernier terme. Par exemple $u_{0} + \dots + u_{n} = (n + 1) \times \frac{u _{0} + u _{n}}{2}$ u₀ + … + uₙ = (n+1)×(u₀ + uₙ)/2.

Cela fonctionne car les termes « se compensent » par paires.

L'astuce derrière la formule est celle attribuée au jeune Gauss : on écrit la somme deux fois, une fois à l'endroit et une fois à l'envers, puis on additionne terme à terme. Chaque paire donne le même total, d'où le produit par la moyenne des extrêmes.

Elle ne vaut que pour une suite arithmétique, c'est-à-dire à écart constant. Pour une suite géométrique, la formule est tout autre.

Exemple

1 + 2 + \dots + 100 = 100 \times \frac{1 + 100}{2} = 5050

1 + 2 + … + 100 = 100×(1+100)/2 = 5050.

Deuxième exemple

Somme des entiers impairs de

1

1 à

99

99 : ce sont

50

50 termes, de premier

1

1 et de dernier

99

99, donc

S = 50 \times \frac{1 + 99}{2} = 50 \times 50 = 2500

S = 50 × (1 + 99)/2 = 50 × 50 = 2 500.

Piège à éviter

Bien compter

N

N : de

u_{0}

u₀ à

u_{n}

uₙ, c'est

n + 1

n+1 termes.

Questions fréquentes

Comment compter le nombre de termes ?

On applique

\frac{dernier - premier}{raison} + 1

(dernier - premier)/raison + 1. De

1

1 à

99

99 avec une raison de

2

2 :

\frac{98}{2} + 1 = 50

98/2 + 1 = 50.

La formule fonctionne-t-elle si la raison est négative ?

Oui, sans changement : seule compte la moyenne du premier et du dernier terme, quel que soit le sens de variation.

Pourquoi divise-t-on par 2 ?

Parce qu'on additionne la somme à elle-même écrite à l'envers, ce qui la double. La division rétablit la valeur cherchée.

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