Ce que dit la formule
On multiplie le premier terme par (1 - q^(N))/(1 - q), où N est le nombre de termes. Pour u₀ + … + uₙ, N = n+1.
Cas particulier q = 1 : tous les termes sont égaux, la somme vaut N × u₀.
La démonstration tient en deux lignes : on écrit S, puis qS, et on soustrait. Presque tous les termes se compensent, ce qui laisse S(1-q) = u₀(1 - q^(N)).
Le rôle de N est celui d'un compteur de termes, pas d'un indice. C'est la confusion la plus fréquente, l'énoncé donnant souvent le rang du dernier terme.
Exemple
2 + 6 + 18 + 54 + 162 = 2×(1 - 3⁵)/(1 - 3) = 242.
Deuxième exemple
1 + 0,5 + 0,25 + 0,125 = 1 × (1 - 0,5⁴)/(1 - 0,5) = (1 - 0,0625)/0,5 = 1,875.
Piège à éviter
La formule suppose q ≠ 1, et N est le nombre de termes (pas l'indice du dernier).
Questions fréquentes
Que devient la somme quand la raison est comprise entre −1 et 1 ?
En ajoutant indéfiniment des termes, q^(N) tend vers 0 et la somme se rapproche de u₀/(1-q) : c'est la somme d'une suite géométrique convergente.
Pourquoi le résultat est-il positif quand la raison dépasse 1 ?
Numérateur et dénominateur sont alors tous deux négatifs, et leur quotient est positif. Le calcul se mène sans précaution particulière.
Peut-on utiliser la formule avec une raison négative ?
Oui, sans changement : pour q = -2 et 4 termes, on obtient (1-16)/3 = -5, ce qui correspond bien à 1 - 2 + 4 - 8.
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