La variance

La variance est la moyenne des carrés des écarts à l'espérance ; elle s'exprime dans l'unité de X au carré. L'écart-type est sa racine carrée et s'exprime dans la même unité que X, ce qui le rend plus facile à interpréter. Les deux mesurent la même chose : la dispersion.

Parce qu'elle est plus rapide : V(X) = E(X²) − E(X)² évite de calculer chaque écart à l'espérance. On calcule E(X) et E(X²), puis on soustrait. C'est la méthode à privilégier dans la quasi-totalité des exercices.

Non, jamais. C'est une somme de carrés (les (xᵢ − μ)²) pondérés par des probabilités positives : elle est donc toujours positive ou nulle. Un résultat négatif signale une erreur de calcul, souvent un carré oublié dans König-Huygens.

E(X²) est la moyenne des carrés : on élève chaque valeur xᵢ au carré avant de faire la moyenne. E(X)² est le carré de la moyenne : on calcule d'abord l'espérance, puis on l'élève au carré. Ces deux quantités sont différentes en général, et leur différence vaut exactement la variance.

On a V(aX + b) = a²·V(X) : la constante b disparaît (elle décale sans disperser) et le coefficient a passe au carré. Pour l'écart-type, σ(aX + b) = |a|·σ(X).

Deux formules donnent la variance. La définition : V(X) = Σ (xᵢ − μ)²·pᵢ, où μ = E(X). Et la formule de König-Huygens, plus rapide en calcul : V(X) = E(X²) − E(X)². L'écart-type en est la racine carrée : σ(X) = √V(X).

À partir du tableau de la loi (valeurs xᵢ et probabilités pᵢ) : on calcule d'abord E(X) = Σ xᵢ·pᵢ, puis E(X²) = Σ xᵢ²·pᵢ, et enfin V(X) = E(X²) − E(X)². Une ligne « xᵢ² » et une ligne « xᵢ²·pᵢ » dans le tableau facilitent le calcul.

Quasiment toujours en exercice : c'est la formule de König-Huygens, bien plus rapide que la définition car elle évite de calculer chaque écart à la moyenne. On la réserve dès qu'on connaît la loi de X (tableau valeurs/probabilités).