Étude par la différence : la formule et un exemple

Q: Comment conclure pour une suite géométrique ?

À termes positifs, on compare la raison q à 1 : q > 1 la suite croît, 0 < q < 1 elle décroît. Si q < 0, les termes alternent de signe et la suite n'est pas monotone.

Ce que dit la formule

On calcule $u_{n + 1} - u_{n}$ uₙ₊₁ - uₙ. Si c'est positif pour tout $n$ n, la suite est croissante ; si c'est négatif, décroissante.

Pour une suite arithmétique, le signe de la raison $r$ r suffit ; pour une géométrique à termes positifs, on compare $q$ q à $1$ 1.

L'étude du signe de $u_{n + 1} - u_{n}$ uₙ₊₁ - uₙ est la méthode universelle : elle fonctionne quelle que soit la suite, définie explicitement ou par récurrence.

Pour une suite à termes strictement positifs, on peut aussi comparer le rapport $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}}$ uₙ₊₁/uₙ à $1$ 1 : supérieur à $1$ 1 la suite croît, inférieur à $1$ 1 elle décroît.

Exemple

u_{n} = 2 n + 1

uₙ = 2n + 1 :

u_{n + 1} - u_{n} = 2 > 0

uₙ₊₁ - uₙ = 2 > 0, croissante.

Deuxième exemple

u_{n} = n^{2} - 6 n

uₙ = n² - 6n :

u_{n + 1} - u_{n} = 2 n - 5

uₙ₊₁ - uₙ = 2n - 5. Cette différence est négative pour

n \leq 2

n ≤ 2 et positive pour

n \geq 3

n ≥ 3 : la suite décroît puis croît, elle n'est donc pas monotone.

Piège à éviter

On étudie la différence pour tout

n

n, pas seulement entre deux premiers termes.

Questions fréquentes

Une suite est-elle forcément croissante ou décroissante ?

Non. Beaucoup de suites ne sont ni l'une ni l'autre : elles peuvent décroître puis croître, comme

u_{n} = n^{2} - 6 n

uₙ = n² - 6n.

Le signe de la raison suffit-il à conclure ?

Oui pour une suite arithmétique :

r > 0

r > 0 donne une suite croissante,

r < 0

r < 0 une suite décroissante. Pour les autres suites, il faut étudier la différence.

Comment conclure pour une suite géométrique ?

À termes positifs, on compare la raison

q

q à

1

1 :

q > 1

q > 1 la suite croît,

0 < q < 1

0 < q < 1 elle décroît. Si

q < 0

q < 0, les termes alternent de signe et la suite n'est pas monotone.

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