Question transversaleMathsHGGSPPuissance et démographie

La population mondiale va-t-elle croître indéfiniment, et quand pourrait-elle atteindre son maximum ?

Q: Vérifiez que P'(t) = r(t) P(t).

La dérivée de $e^(u(t))$ est $u'(t)e^(u(t))$, avec $u'(t)=0,009-0,00015t$.

Q: Pourquoi le maximum est-il atteint quand r(t) = 0 ?

P' a le signe de r(t) car P(t) > 0 : P croît puis décroît.

Q: Que devient le pic si le taux baisse deux fois plus vite ?

Il arrive en $t=30$, avec $8e^(0,135)≈9,2$ milliards.

Le taux de croissance mondial, environ 0,9 % par an en 2023, baisse d'environ 0,015 point par an. Si r(t) = 0,009 − 0,00015 t, la population P(t) = 8 e^(0,009 t − 0,000075 t²) atteint son maximum quand r(t) = 0, soit au bout de 60 ans : vers 2083, avec environ 10,5 milliards d'habitants. L'ONU projette un pic d'environ 10,3 milliards dans les années 2080.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 9,5 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

On entend souvent parler de « surpopulation », comme si la population mondiale devait croître sans fin. En HGGSP, j'ai découvert que la croissance démographique ralentit depuis les années 1960. J'ai voulu construire un modèle simple où le taux de croissance diminue régulièrement, et voir s'il permet de retrouver les projections de l'ONU, avec l'exponentielle et la dérivée.

L'enjeu et les notions du programme

Construire un modèle où le taux de croissance varie, trouver le maximum de la population par dérivation et confronter le modèle aux projections officielles.

Mathématiques

Fonction exponentielle, dérivée de e^u (terminale)
Taux de croissance comme dérivée logarithmique P'/P (terminale)
Maximum d'une fonction (première)

Histoire-géographie, géopolitique et sciences politiques

Analyser les dynamiques des puissances internationales : enjeux démographiques (première, thème 2)
L'environnement, entre exploitation et protection (terminale, thème 5)

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. Introduction
1 min
La population mondiale a dépassé 8 milliards en 2022. Son taux de croissance, qui a culminé à plus de 2 % par an vers 1965, n'est plus que d'environ 0,9 % par an. Problématique : si ce ralentissement se poursuit, quand et à quel niveau la population cessera-t-elle de croître ?
2. Mathématiques : un taux qui décroît linéairement
4,5 min
Le taux de croissance est $r = \frac{P ^{'}}{P}$ r=P'/P. Modèle : il décroît régulièrement, $r (t) = 0, 009 - 0, 00015 t$ r(t)=0,009-0,00015 t ( $t$ t en années depuis 2023), soit une baisse d'environ 0,015 point par an, proche de celle observée récemment.
On cherche $P$ P telle que $\frac{P ^{'}}{P} = r (t)$ P'/P=r(t). La fonction $P (t) = 8 e^{0, 009 t - 0, 000075 t^{2}}$ P(t)=8e^(0,009t-0,000075t²) convient : sa dérivée vaut $P^{'} (t) = 8 (0, 009 - 0, 00015 t) e^{\dots} = r (t) P (t)$ P'(t)=8(0,009-0,00015t)e^(…)=r(t)P(t), et $P (0) = 8$ P(0)=8 milliards.
$P^{'}$ P' a le signe de $r (t)$ r(t) : positive tant que $t < \frac{0 , 009}{0 , 00015} = 60$ t<0,009/0,00015=60, négative ensuite. La population est maximale en $t = 60$ t=60, soit vers 2083. Sa valeur : $8 e^{0, 54 - 0, 27} = 8 e^{0, 27} \approx 10, 5$ 8e^(0,54-0,27)=8e^(0,27)≈10,5 milliards.
L'ONU projette un pic d'environ 10,3 milliards au milieu des années 2080 : le modèle, très simple, en donne le bon ordre de grandeur. Il est cependant sensible aux hypothèses : si le taux baissait deux fois plus vite, le pic arriverait 30 ans plus tôt, à environ 9,2 milliards.
3. HGGSP : un enjeu géopolitique
2,5 min
La croissance future sera très inégale : la population de l'Afrique pourrait augmenter d'environ 70 % d'ici 2050, tandis que celle de l'Europe, de la Chine ou du Japon diminue déjà. Les rapports de puissance, les migrations et les besoins en ressources en seront transformés.
Le pic dépend surtout de l'évolution de la fécondité, liée à l'éducation des filles, à l'urbanisation et aux politiques publiques. Les projections sont des scénarios, pas des certitudes : l'ONU publie d'ailleurs des variantes haute et basse. Les mathématiques aident à comprendre la mécanique, pas à prédire l'avenir avec certitude.
4. Conclusion
1,5 min
Avec un taux de croissance qui baisse régulièrement, la population mondiale atteint un maximum quand ce taux s'annule : vers 2083 et environ 10,5 milliards dans le modèle, proche de la projection de l'ONU (10,3 milliards). Une exponentielle et une dérivée suffisent à décrire la fin de la croissance démographique. J'ouvre sur les écarts régionaux, qui redessinent la carte de la puissance.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

r (t) = \frac{P ^{'}}{P} = 0, 009 - 0, 00015 t P (t) = 8 e^{0, 009 t - 0, 000075 t^{2}} r(t)=P'/P=0,009-0,00015 t P(t)=8e^(0,009t-0,000075t²) P^{'} (t) = r (t) P (t) = 0 ⟺ t = 60 (\approx 2083) P (60) = 8 e^{0, 27} \approx 10, 5 milliards P'(t)=r(t)P(t)=0\Leftrightarrow t=60 (\approx2083) P(60)=8e^(0,27)\approx10,5 milliards

Conclusion : la réponse à la question

La population mondiale ne croîtra pas indéfiniment : un taux de croissance qui décroît mène à un maximum, que la dérivée localise. Le modèle retrouve l'ordre de grandeur des projections officielles, avec la prudence qu'impose toute projection.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Vérifiez que P'(t) = r(t) P(t).

La dérivée de $e^{u (t)}$ e^(u(t)) est $u^{'} (t) e^{u (t)}$ u'(t)e^(u(t)), avec $u^{'} (t) = 0, 009 - 0, 00015 t$ u'(t)=0,009-0,00015t.

Pourquoi le maximum est-il atteint quand r(t) = 0 ?

P' a le signe de r(t) car P(t) > 0 : P croît puis décroît.

Que devient le pic si le taux baisse deux fois plus vite ?

Il arrive en $t = 30$ t=30, avec $8 e^{0, 135} \approx 9, 2$ 8e^(0,135)≈9,2 milliards.

Quand le taux de croissance mondial a-t-il été maximal ?

Vers 1965, à un peu plus de 2 % par an.

Quel facteur influence le plus la fécondité ?

L'éducation, en particulier celle des filles, ainsi que l'urbanisation et l'accès à la contraception.

Les pièges qui coûtent des points

Confondre baisse du taux de croissance et baisse de la population.
Présenter une projection comme une certitude.
Oublier que la croissance est très inégale selon les régions.

Revoir les notions

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