Question transversaleMathsNSITransmettre et compresser

Comment un ordinateur peut-il savoir qu'un message a été abîmé pendant sa transmission ?

On ajoute à 8 bits un neuvième bit pour que le nombre de 1 soit pair. Une erreur isolée rend ce nombre impair : elle est détectée. Deux erreurs passent inaperçues ; si chaque bit est faussé avec une probabilité 0,01, la probabilité d'une erreur non détectée est d'environ 0,34 %.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 9,5 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En NSI, nous avons étudié la transmission de données et appris qu'un câble ou une onde radio peuvent inverser des bits. Je me suis demandé comment le récepteur peut s'en rendre compte, puisqu'il ne connaît pas le message d'origine. La solution la plus simple, le bit de parité, m'a fait découvrir le compromis entre redondance et fiabilité, que l'on mesure avec la loi binomiale.

L'enjeu et les notions du programme

Construire un code détecteur d'erreurs par un argument de parité et calculer sa fiabilité avec la loi binomiale.

Mathématiques

Parité, raisonnement sur les entiers (seconde)
Loi binomiale (première)
Événement contraire, approximation de probabilités petites (première)

Numérique et sciences informatiques

Transmission de données, protocoles (première)
Opérateur xor, booléens (première)

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. Introduction
1 min
Lors d'une transmission, un bruit peut transformer un 0 en 1 ou l'inverse. Le récepteur ne connaît pas le message d'origine. Problématique : comment ajouter au message une information qui permette de détecter une erreur ?
2. Mathématiques : un argument de parité
4 min
On envoie 8 bits de données et un neuvième, le bit de parité, choisi pour que le nombre total de 1 soit pair. Pour $10110010$ 1011 0010 (quatre 1), on ajoute 0 ; pour $10110011$ 1011 0011 (cinq 1), on ajoute 1. Ce bit est le OU exclusif de tous les autres.
Si un seul bit est inversé, le nombre de 1 change de 1 et devient impair : le récepteur détecte l'erreur. Plus généralement, toute erreur portant sur un nombre impair de bits est détectée, et toute erreur sur un nombre pair de bits passe inaperçue.
Fiabilité : chaque bit des 9 est faussé indépendamment avec la probabilité $p = 0, 01$ p=0,01. Le nombre d'erreurs $X$ X suit la loi binomiale $B (9; 0, 01)$ mathcal B(9;0,01). Erreur non détectée : $X$ X pair et non nul. Le terme dominant est $P (X = 2) = (2 9) p^{2} (1 - p)^{7} \approx 36 \times 0, 0001 \times 0, 93 \approx 0, 0034$ P(X=2)=binom92p²(1-p)⁷≈36×0,0001×0,93≈0,0034. Les termes suivants sont négligeables : environ 0,34 %. Sans bit de parité, toute erreur passerait inaperçue : $1 - 0, 9 9^{8} \approx 7, 7 %$ 1-0,99⁸≈7,7 %.
3. NSI : utilisations et limites
3 min
Le bit de parité coûte un bit sur neuf (11 % de redondance). Il a été utilisé dans les mémoires et les liaisons série. Il détecte mais ne corrige pas : le récepteur doit redemander le message.
Ses limites : il rate les erreurs doubles, fréquentes quand le bruit touche plusieurs bits voisins (rafales). On utilise alors des sommes de contrôle plus puissantes, comme le CRC des trames Ethernet, qui détectent toutes les rafales courtes. En Python, le bit de parité se calcule en une ligne avec la fonction de comptage des 1 et le reste de la division par 2.
4. Conclusion
1,5 min
Un seul bit ajouté suffit à détecter toute erreur isolée, grâce à un argument de parité. La loi binomiale mesure ce qu'il laisse passer : environ 0,34 % des blocs avec $p = 0, 01$ p=0,01, au lieu de 7,7 %. J'ouvre sur les codes de Hamming, qui ajoutent quelques bits de plus pour corriger l'erreur au lieu de seulement la détecter.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

bit de parit \overset{e}{ˊ} = b_{1} \oplus b_{2} \oplus \dots \oplus b_{8} 10110011 \to 1 bit de parité =b₁\oplus b₂\oplus\dots\oplus b₈ 1011 0011 \to 1 X \sim B (9; 0, 01) : P (X = 2) = (2 9) p^{2} (1 - p)^{7} \approx 0, 0034 sans contr \overset{o}{ˆ} le : 1 - 0, 9 9^{8} \approx 0, 077 X~mathcal B(9;0,01): P(X=2)=binom92p²(1-p)⁷\approx0,0034 sans contrôle : 1-0,99⁸\approx0,077

Conclusion : la réponse à la question

La parité transforme une erreur invisible en erreur détectable, pour le prix d'un bit. Le calcul binomial montre ce qu'on gagne et ce qui reste : les erreurs en nombre pair.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Quel bit de parité pour 1111 0000 ?

Quatre 1, nombre pair : on ajoute 0.

Pourquoi deux erreurs ne sont-elles pas détectées ?

Le nombre de 1 change de 0 ou de ± 2 : il reste pair.

Calculez C(9, 2).

$\frac{9 \times 8}{2} = 36$ 9×8/2=36.

Le bit de parité peut-il localiser l'erreur ?

Non : il sait qu'une erreur a eu lieu, pas où. Il faut plusieurs bits de contrôle pour la localiser.

Que fait le récepteur quand il détecte une erreur ?

Il demande une retransmission, ou signale le bloc comme invalide.

Les pièges qui coûtent des points

Croire que le bit de parité corrige l'erreur.
Oublier de compter le bit de parité lui-même dans les bits exposés au bruit.
Confondre nombre pair d'erreurs et absence d'erreur.

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