Répéter chaque bit trois fois suffit-il à rendre une transmission fiable ?

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Quand on parle dans un environnement bruyant, on a tendance à répéter. En NSI, je me suis demandé si un ordinateur pouvait faire de même : envoyer chaque bit plusieurs fois et garder la majorité. J'ai calculé le gain avec la loi binomiale, et j'ai découvert qu'il a un coût élevé, ce qui m'a amené au théorème de Shannon.

L'enjeu et les notions du programme

Calculer une probabilité d'erreur avec la loi binomiale et comparer fiabilité et débit d'un code.

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. 1. Introduction

   1 min

   Un canal bruité inverse chaque bit avec une probabilité $p$p, indépendamment. Problématique : en répétant chaque bit trois fois et en votant, de combien réduit-on les erreurs, et à quel prix ?

2. 2. Mathématiques : la loi binomiale

   4 min

   On envoie 000 pour 0 et 111 pour 1. Le récepteur décide à la majorité. Le nombre $X$X de copies faussées suit la loi binomiale $\mathcal{B}(3;p)$mathcal B(3;p). Le bit décodé est faux si $X\ge 2$X≥2 : $P(X=2)+P(X=3)=3p^2(1-p)+p^3=3p^2-2p^3$P(X=2)+P(X=3)=3p²(1-p)+p³=3p²-2p³.

   Pour $p=0,1$p=0,1 : $3\times 0,01-2\times 0,001=0,028$3×0,01-2×0,001=0,028, soit 2,8 % au lieu de 10 %. Pour $p=0,01$p=0,01 : environ 0,03 % au lieu de 1 %.

   Le code améliore les choses si $3p^2-2p^3<p$3p²-2p³<p, c'est-à-dire $p(1-p)(1-2p)>0$p(1-p)(1-2p)>0 après factorisation de $-2p^3+3p^2-p=-p(2p-1)(p-1)$-2p³+3p²-p=-p(2p-1)(p-1). C'est vrai pour $0<p<\frac{1}{2}$0<p<1/2. Au-delà de $\frac{1}{2}$1/2, le canal se trompe plus souvent qu'il n'a raison et le vote aggrave la situation.

   Avec 5 répétitions, l'erreur passe à $P(X\ge 3)$P(X≥3), environ 0,86 % pour $p=0,1$p=0,1 : mieux, mais le débit est divisé par 5.

3. 3. NSI : le coût en débit

   3 min

   Le rendement du code à répétition triple est $\frac{1}{3}$1/3 : pour envoyer un fichier, il faut trois fois plus de temps. Pour atteindre une erreur aussi faible que voulu, il faudrait répéter de plus en plus, et le débit tendrait vers 0.

   Shannon a démontré en 1948 qu'on peut faire bien mieux : pour un canal donné, il existe des codes dont l'erreur tend vers 0 avec un rendement constant, tant qu'il reste sous la « capacité » du canal. Les codes modernes (turbo-codes, codes LDPC de la 5G et du Wi-Fi) s'en approchent. On vérifie le calcul de $3p^2-2p^3$3p²-2p³ en simulant un million de bits en Python.

4. 4. Conclusion

   1,5 min

   Répéter trois fois et voter divise les erreurs (2,8 % au lieu de 10 % pour $p=0,1$p=0,1), mais divise aussi le débit par trois, et ne fonctionne que si $p<\frac{1}{2}$p<1/2. La loi binomiale mesure ce compromis. J'ouvre sur le théorème de Shannon, qui montre qu'on peut être fiable sans sacrifier le débit.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Oublier le cas des trois copies faussées.
• Croire que le vote améliore les choses pour tout p.
• Ignorer le coût en débit.

Revoir les notions

• Variables aléatoires (Première spé maths) →
• Polynômes de degré 2 et 3 (Première spé maths) →

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