Question transversaleMathsNSITransmettre et compresser

Existe-t-il une limite au débit d'internet sur un câble ou une onde radio ?

Q: Que vaut C si S/N = 1 ?

$C=Blog₂2=B$ : un bit par hertz.

Q: Que signifient 30 décibels ?

Un rapport de puissances de $10^(30/10)=1 000$.

Shannon a montré qu'un canal de bande passante B et de rapport signal sur bruit S/N ne peut transmettre sans erreur plus de C = B log₂(1 + S/N) bits par seconde. Pour 1 MHz et S/N = 1 000, environ 10 Mbit/s. Doubler la bande double le débit ; doubler la puissance n'ajoute qu'environ 1 Mbit/s.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 9,5 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

À chaque nouvelle génération de téléphonie (3G, 4G, 5G), les débits augmentent. Je me suis demandé s'ils pouvaient augmenter indéfiniment. En NSI, j'ai découvert qu'en 1948 Claude Shannon a démontré une limite infranchissable, donnée par une formule avec un logarithme. J'ai voulu comprendre ce qu'elle dit et pourquoi les opérateurs se battent pour les fréquences.

L'enjeu et les notions du programme

Utiliser une formule à logarithme pour comparer l'effet de deux leviers, et interpréter la croissance lente du logarithme.

Mathématiques

Fonction logarithme, log₂ x = ln x / ln 2 (terminale)
Croissance du logarithme, comparaison avec une fonction linéaire (terminale)
Propriétés algébriques du logarithme (terminale)

Numérique et sciences informatiques

Réseaux : débit, bande passante (première)
Transmission et codage de l'information (première)

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. Introduction
1 min
Un canal de communication est caractérisé par sa bande passante $B$ B (la largeur de fréquences utilisée, en hertz) et par le rapport entre la puissance du signal et celle du bruit, $\frac{S}{N}$ S/N. Problématique : quel débit maximal peut-on espérer, et comment l'augmenter ?
2. Mathématiques : la formule de Shannon-Hartley
4 min
La capacité vaut $C = B lo g_{2} (1 + \frac{S}{N})$ C=Blog₂(1+S/N) bits par seconde. Shannon a démontré qu'au-dessous de $C$ C, il existe des codes rendant l'erreur aussi petite qu'on veut, et qu'au-dessus, c'est impossible.
Exemple : $B = 1$ B=1 MHz et $\frac{S}{N} = 1000$ S/N=1 000 (soit 30 décibels). $lo g_{2} 1001 \approx 9, 97$ log₂ 1001≈9,97, donc $C \approx 10$ C≈10 Mbit/s.
Deux leviers. Doubler la bande passante double le débit : $C$ C est proportionnelle à $B$ B. Doubler la puissance du signal : $lo g_{2} 2001 \approx 10, 97$ log₂ 2001≈10,97, on gagne seulement 1 bit par hertz, environ 1 Mbit/s. Car $lo g_{2} (2 x) = 1 + lo g_{2} x$ log₂(2x)=1+log₂x. Pour gagner 10 Mbit/s par la puissance, il faudrait la multiplier par environ $2^{10} \approx 1000$ 2¹⁰≈1 000.
Le logarithme croît très lentement : au-delà d'un bon rapport signal sur bruit, augmenter la puissance rapporte peu, alors qu'élargir la bande rapporte proportionnellement.
3. NSI : ce que cela explique
3 min
C'est pourquoi les opérateurs achètent des bandes de fréquences aux enchères : la bande passante est le levier efficace. La 5G utilise des bandes plus larges, et le Wi-Fi récent combine plusieurs canaux. On contourne aussi la limite en utilisant plusieurs antennes (MIMO), qui créent plusieurs canaux en parallèle.
Les codes correcteurs modernes approchent la capacité à moins de 1 % près. Le débit affiché par un forfait est un maximum théorique ; le débit réel dépend du bruit, de la distance et du partage du canal entre utilisateurs.
4. Conclusion
1,5 min
Le débit d'un canal est limité par $C = B lo g_{2} (1 + \frac{S}{N})$ C=Blog₂(1+S/N) : il croît proportionnellement à la bande passante, mais seulement logarithmiquement avec la puissance. Le logarithme explique les choix techniques des réseaux mobiles. J'ouvre sur les liaisons avec les sondes spatiales, où le signal est des milliards de fois plus faible que le bruit.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

C = B lo g_{2} (1 + \frac{S}{N}) B = 1 0^{6}, \frac{S}{N} = 1000 : C \approx 1 0^{6} \times 9, 97 \approx 10 Mbit/s C=Blog₂ (1+S/N) B=10⁶, S/N=1000: C\approx10⁶\times9,97\approx10 Mbit/s lo g_{2} (2 x) = 1 + lo g_{2} x \times 2 en puissance : + 1 bit/s/Hz \times 2 en bande : \times 2 log₂(2x)=1+log₂x \times2 en puissance : +1 bit/s/Hz \times2 en bande : \times2

Conclusion : la réponse à la question

Il existe une limite mathématique au débit d'un canal. Sa formule, avec un logarithme, montre que la bande passante est un levier bien plus puissant que la puissance d'émission.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Calculez log₂ 1 024.

10, car 2¹⁰ = 1 024.

Que vaut C si S/N = 1 ?

$C = B lo g_{2} 2 = B$ C=Blog₂2=B : un bit par hertz.

Que signifient 30 décibels ?

Un rapport de puissances de $1 0^{30/10} = 1000$ 10^(30/10)=1 000.

Peut-on dépasser la capacité avec un meilleur code ?

Non : Shannon a démontré qu'au-dessus de C, l'erreur ne peut pas être rendue arbitrairement petite.

Pourquoi le débit réel est-il inférieur ?

Le bruit varie, le canal est partagé, et une partie du débit sert aux protocoles et aux codes correcteurs.

Les pièges qui coûtent des points

Croire que doubler la puissance double le débit.
Confondre bande passante (en hertz) et débit (en bits par seconde).
Utiliser log₁₀ au lieu de log₂.

Revoir les notions

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