Question transversaleMathsNSIReprésenter l'information

Comment un processeur, qui ne connaît que des portes logiques, fait-il une addition ?

Q: Pourquoi la retenue sortante vaut-elle 1 quand au moins deux bits sur trois valent 1 ?

Car $a+b+r≥2$ exactement dans ces cas, et $2r'$ est la partie « deux » de la somme.

Additionner deux bits, c'est calculer une somme (OU exclusif) et une retenue (ET). En chaînant n additionneurs complets, on additionne deux nombres de n bits : 13 + 11 = 1101 + 1011 = 11000 = 24, colonne par colonne comme à l'école.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 9,5 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Je savais que l'ordinateur calcule en binaire, mais je n'imaginais pas comment des circuits électriques qui laissent passer ou non un courant pouvaient « savoir » additionner. En étudiant les portes logiques en NSI, j'ai découvert qu'une addition se réduit à deux fonctions booléennes très simples, appliquées colonne par colonne.

L'enjeu et les notions du programme

Traduire l'algorithme de l'addition posée en base 2 en fonctions logiques, et vérifier la correction par une table de vérité.

Mathématiques

Logique : connecteurs « et », « ou », négation (seconde)
Écriture positionnelle, puissances de 2 (seconde)
Raisonnement par disjonction de cas (seconde)

Numérique et sciences informatiques

Valeurs booléennes, opérateurs and, or, not, xor, tables de vérité (première)
Circuits combinatoires, modèle d'architecture (première)

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. Introduction
1 min
Un processeur est fait de milliards de transistors organisés en portes logiques (ET, OU, NON). Problématique : comment obtenir une addition à partir de ces seules portes ?
2. Mathématiques : l'addition posée en base 2
3,5 min
On pose $13 + 11$ 13+11 en binaire : $1101 + 1011$ 1101+1011. Colonne de droite : $1 + 1 = 1 0_{2}$ 1+1=10₂, on écrit 0, retenue 1. Puis $0 + 1 + 1 = 1 0_{2}$ 0+1+1=10₂, 0, retenue 1. Puis $1 + 0 + 1 = 1 0_{2}$ 1+0+1=10₂, 0, retenue 1. Puis $1 + 1 + 1 = 1 1_{2}$ 1+1+1=11₂, 1, retenue 1. Résultat : $1100 0_{2} = 16 + 8 = 24$ 11000₂=16+8=24. C'est l'algorithme de l'école, avec seulement deux chiffres.
Dans chaque colonne, on additionne trois bits $a$ a, $b$ b et la retenue $r$ r. Le résultat est entre 0 et 3, donc s'écrit sur deux bits : un bit de somme $s$ s et une retenue sortante $r^{'}$ r'. On a toujours $a + b + r = s + 2 r^{'}$ a+b+r=s+2r'.
Une table de vérité à $2^{3} = 8$ 2³=8 lignes suffit à décrire ces deux fonctions : c'est un raisonnement par disjonction de tous les cas.
3. NSI : de la table de vérité au circuit
3,5 min
Pour deux bits sans retenue (demi-additionneur) : la somme vaut 1 si exactement un des bits vaut 1, c'est le OU exclusif $s = a \oplus b$ s=a⊕ b ; la retenue vaut 1 si les deux valent 1, c'est $r^{'} = a \land b$ r'=awedge b.
Pour trois bits (additionneur complet) : $s = a \oplus b \oplus r$ s=a⊕ b⊕ r, et $r^{'} = (a \land b) \lor (r \land (a \oplus b))$ r'=(awedge b)vee(rwedge(a⊕ b)). On vérifie ces formules sur les 8 lignes de la table.
En chaînant 64 additionneurs complets, la retenue passant de l'un au suivant, on additionne deux entiers de 64 bits. La retenue qui sort du dernier est perdue : c'est le dépassement de capacité. Les processeurs accélèrent la propagation des retenues par des circuits d'anticipation.
4. Conclusion
1,5 min
L'addition se réduit, colonne par colonne, à deux fonctions booléennes : la somme est un OU exclusif, la retenue un « au moins deux bits à 1 ». Toute l'arithmétique du processeur se construit ainsi à partir de la logique. J'ouvre sur la multiplication, qui combine additions et décalages.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

110 1_{2} + 101 1_{2} = 1100 0_{2} (13 + 11 = 24) 1101₂+1011₂=11000₂ (13+11=24) a + b + r = s + 2 r^{'} s = a \oplus b \oplus r r^{'} = (a \land b) \lor (r \land (a \oplus b)) a+b+r=s+2r' s=a\oplus b\oplus r r'=(awedge b)vee(rwedge(a\oplus b))

Conclusion : la réponse à la question

Un processeur additionne comme un élève qui pose l'opération, mais avec des portes logiques : le OU exclusif donne le chiffre, le ET donne la retenue. La logique de seconde suffit à comprendre le cœur d'un ordinateur.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Donnez la table de vérité du OU exclusif.

0⊕0 = 0, 0⊕1 = 1, 1⊕0 = 1, 1⊕1 = 0 : vrai quand exactement un des deux est vrai.

Pourquoi la retenue sortante vaut-elle 1 quand au moins deux bits sur trois valent 1 ?

Car $a + b + r \geq 2$ a+b+r≥2 exactement dans ces cas, et $2 r^{'}$ 2r' est la partie « deux » de la somme.

Combien de lignes a la table de vérité d'une fonction de 3 variables ?

$2^{3} = 8$ 2³=8 lignes.

Comment le processeur soustrait-il ?

Il ajoute le complément à deux du second nombre : inverser les bits et ajouter 1, avec le même additionneur.

Peut-on construire toutes les portes à partir d'une seule ?

Oui, avec la porte NON-ET (NAND) : NON a = a NAND a, et ET, OU s'en déduisent.

Les pièges qui coûtent des points

Confondre OU inclusif et OU exclusif pour le bit de somme.
Oublier la retenue entrante dans l'additionneur complet.
Lire le résultat binaire dans le mauvais sens.

Revoir les notions

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