Question transversaleMathsNSIReprésenter l'information

Combien de bits faut-il pour écrire un nombre entier, et pourquoi le logarithme répond-il à la question ?

Un entier n ≥ 1 s'écrit en binaire avec ⌊log₂ n⌋ + 1 chiffres : 1 000 demande 10 bits, un million 20 bits. Doubler un nombre ne coûte qu'un bit de plus, ce qui explique pourquoi l'informatique manipule sans peine des nombres immenses.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 9,5 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En NSI, nous avons converti des nombres en binaire à la main, et j'ai remarqué que 1 000 et 1 023 prenaient le même nombre de chiffres, alors que 1 024 en demandait un de plus. J'ai voulu comprendre la règle cachée derrière ce saut. Elle relie l'écriture d'un nombre au logarithme, une fonction que j'ai découverte en terminale et qui sert justement à compter les « étages » d'une croissance exponentielle.

L'enjeu et les notions du programme

Relier l'écriture positionnelle en base 2 aux puissances de 2 et au logarithme, et en tirer la taille mémoire d'un nombre.

Mathématiques

Puissances, encadrement d'un entier entre deux puissances (seconde)
Fonction logarithme népérien, log₂ x = ln x / ln 2 (terminale)
Partie entière, inéquations avec ln (terminale)

Numérique et sciences informatiques

Écriture d'un entier positif dans une base b ≥ 2 (première)
Bits, octets, taille des entiers en mémoire (première)

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. Introduction
1 min
Un ordinateur ne stocke que des 0 et des 1. Pour réserver la place d'un nombre, il faut savoir combien de chiffres binaires, ou bits, il occupe. Problématique : comment calculer ce nombre de bits sans écrire la conversion, et que nous apprend la réponse ?
2. Mathématiques : encadrer par des puissances de 2
4 min
Avec $k$ k bits, on écrit tous les entiers de $0$ 0 à $2^{k} - 1$ 2^(k)-1, car $1 + 2 + 4 + \dots + 2^{k - 1} = 2^{k} - 1$ 1+2+4+…+2^(k-1)=2^(k)-1 (somme géométrique). Un entier $n \geq 1$ n≥1 s'écrit donc avec exactement $k$ k bits si et seulement si $2^{k - 1} \leq n < 2^{k}$ 2^(k-1)≤ n<2^(k).
On passe au logarithme, fonction croissante : $k - 1 \leq lo g_{2} n < k$ k-1≤log₂ n<k, avec $lo g_{2} n = \frac{l n n}{l n 2}$ log₂ n=(ln n)/(ln 2). Le nombre de bits est donc $k = ⌊ lo g_{2} n ⌋ + 1$ k=lfloorlog₂ nrfloor+1.
Exemples : $2^{9} = 512 \leq 1000 < 1024 = 2^{10}$ 2⁹=512≤1000<1024=2¹⁰, donc 1 000 s'écrit sur 10 bits ( $1111101000$ 1111101000). Un million : $lo g_{2} 1 0^{6} = 6 lo g_{2} 10 \approx 19, 9$ log₂ 10⁶=6log₂ 10≈19,9, donc 20 bits. Le saut entre 1 023 et 1 024 s'explique : 1 024 est la première puissance de 2 qui demande un chiffre de plus, comme 1 000 en base 10.
3. NSI : ce que cela change en machine
3 min
Les machines réservent des tailles fixes : 8, 16, 32 ou 64 bits. Avec 32 bits, on va jusqu'à $2^{32} - 1 \approx 4, 3$ 2³²-1≈4,3 milliards ; avec 64 bits, jusqu'à environ $1, 8 \times 1 0^{19}$ 1,8×10¹⁹. Comme le nombre de bits croît comme un logarithme, multiplier la valeur maximale par 1 000 ne coûte qu'une dizaine de bits ( $2^{10} = 1024$ 2¹⁰=1024).
Python, lui, ne limite pas la taille des entiers : il ajoute des blocs de mémoire au besoin. La fonction $bit_length()$ bit\_length() renvoie exactement $⌊ lo g_{2} n ⌋ + 1$ lfloorlog₂ nrfloor+1. On retrouve la même idée dans la recherche dichotomique : diviser par 2 jusqu'à 1 prend environ $lo g_{2} n$ log₂ n étapes, autant que de bits.
4. Conclusion
1,5 min
Le nombre de bits d'un entier est $⌊ lo g_{2} n ⌋ + 1$ lfloorlog₂ nrfloor+1 : il ne croît qu'avec le logarithme de la valeur. C'est pour cela qu'une poignée de bits supplémentaires suffit à représenter des nombres gigantesques. J'ouvre sur la représentation des entiers négatifs, qui demande une autre astuce : le complément à deux.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

2^{k - 1} \leq n < 2^{k} ⟺ k = ⌊ lo g_{2} n ⌋ + 1, lo g_{2} n = \frac{ln n}{ln 2} 2^(k-1)\leq n<2^(k)\Leftrightarrow k=lfloorlog₂ nrfloor+1, log₂ n=(ln n)/(ln 2) 512 \leq 1000 < 1024 \Rightarrow 10 bits lo g_{2} 1 0^{6} \approx 19, 9 \Rightarrow 20 bits 512\leq1000<1024 \Rightarrow 10 bits log₂ 10⁶\approx19,9 \Rightarrow 20 bits

Conclusion : la réponse à la question

Le logarithme en base 2 compte combien de fois on peut diviser par 2 : c'est exactement le nombre de chiffres binaires. Doubler un nombre ne coûte qu'un bit, ce qui rend l'écriture binaire très économe.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Pourquoi 2⁰ + 2¹ + … + 2^(k−1) = 2^k − 1 ?

C'est la somme des termes d'une suite géométrique de raison 2 : $\frac{2 ^{k} - 1}{2 - 1}$ (2^(k)-1)/(2-1). En binaire, c'est le nombre $11 \dots 1$ 11…1 à $k$ k chiffres, auquel on ajoute 1 pour obtenir $100 \dots 0 = 2^{k}$ 100…0=2^(k).

Combien de chiffres a 1 000 en base 10, et quelle formule l'explique ?

$⌊ lo g_{10} 1000 ⌋ + 1 = 3 + 1 = 4$ lfloorlog₁₀1000rfloor+1=3+1=4. La même formule vaut en toute base $b$ b.

Combien de bits pour écrire 2^100 ?

$lo g_{2} 2^{100} = 100$ log₂ 2¹⁰⁰=100, donc 101 bits : un 1 suivi de cent 0.

Comment convertit-on un entier en binaire ?

Par divisions euclidiennes successives par 2 : les restes, lus du dernier au premier, donnent les chiffres.

Combien d'octets pour un nombre de 20 bits ?

Un octet contient 8 bits : il faut 3 octets (24 bits), car 2 octets ne donnent que 16 bits.

Les pièges qui coûtent des points

Oublier le « + 1 » : log₂ 1 024 = 10, mais 1 024 s'écrit sur 11 bits.
Confondre log₂ et ln : il faut diviser par ln 2.
Dire que le nombre de bits est proportionnel à la valeur : il croît comme son logarithme.

Revoir les notions

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