Question transversaleMathsNSIReprésenter l'information

Combien de couleurs un écran peut-il afficher, et combien pèse une image non compressée ?

Q: Combien de niveaux de gris avec 8 bits ?

$2⁸=256$, de 0 (noir) à 255 (blanc), les trois canaux étant égaux.

Q: Combien de couleurs si chaque canal est codé sur 10 bits ?

$2³⁰$, environ 1,07 milliard.

Avec 8 bits par canal rouge, vert, bleu, un pixel prend 2²⁴ = 16 777 216 couleurs. Une image Full HD de 1 920 × 1 080 pixels pèse 6 220 800 octets, environ 6,2 Mo, et quatre fois plus en 4K : d'où le besoin de compresser.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 9,5 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En NSI, nous avons manipulé des images pixel par pixel en Python. En changeant une seule valeur de 255 à 254, je ne voyais aucune différence à l'écran. Je me suis demandé combien de couleurs existaient vraiment, et pourquoi une photo de mon téléphone pèse si peu alors que le calcul des pixels donne un nombre énorme.

L'enjeu et les notions du programme

Utiliser le principe multiplicatif pour dénombrer les couleurs et estimer la taille d'une image, puis justifier la compression.

Mathématiques

Principe multiplicatif, p-uplets (terminale)
Puissances, ordres de grandeur (seconde)
Proportionnalité, pourcentages de réduction (seconde)

Numérique et sciences informatiques

Codage RVB d'un pixel, images matricielles (première)
Octets et unités de mémoire (première)

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. Introduction
1 min
Une image numérique est un tableau de pixels, chacun mélange de rouge, de vert et de bleu. Problématique : combien de couleurs ce codage permet-il, et quelle place une image occupe-t-elle ?
2. Mathématiques : dénombrer les couleurs
3,5 min
Chaque canal est codé sur un octet : 8 bits, donc $2^{8} = 256$ 2⁸=256 intensités, de 0 à 255. Une couleur est un triplet (rouge, vert, bleu) : par le principe multiplicatif, il y en a $25 6^{3} = 2^{24} = 16777216$ 256³=2²⁴=16 777 216.
C'est plus que ce que l'œil distingue (on estime quelques millions de nuances) : deux couleurs voisines comme $(255, 0, 0)$ (255,0,0) et $(254, 0, 0)$ (254,0,0) sont indiscernables, ce que j'avais constaté.
Taille d'une image Full HD : $1920 \times 1080 = 2073600$ 1920×1080=2 073 600 pixels, à 3 octets chacun : $6220800$ 6 220 800 octets, environ 6,2 Mo. En 4K ( $3840 \times 2160$ 3840×2160), le nombre de pixels est multiplié par 4 : environ 24,9 Mo. Une vidéo à 30 images par seconde atteindrait 187 Mo par seconde en Full HD.
3. NSI : pourquoi et comment compresser
3,5 min
Une photo de téléphone pèse pourtant quelques mégaoctets. Deux familles de compression existent. Sans perte (PNG) : on exploite les répétitions, par exemple en codant « 200 pixels blancs » au lieu de répéter 200 fois le même triplet. Avec perte (JPEG) : on supprime des détails que l'œil perçoit mal, en particulier les variations fines de couleur.
On mesure l'effet par le taux de compression : passer de 6,2 Mo à 0,5 Mo divise la taille par environ 12. En Python, une image est un tableau de triplets ; on peut programmer une réduction du nombre de couleurs (par exemple 4 niveaux par canal, soit $4^{3} = 64$ 4³=64 couleurs) et observer la perte.
4. Conclusion
1,5 min
Le principe multiplicatif donne $2^{24} \approx 16, 8$ 2²⁴≈16,8 millions de couleurs et environ 6,2 Mo pour une image Full HD brute. Ces nombres expliquent pourquoi la compression est indispensable. J'ouvre sur les codes qui permettent de compresser sans rien perdre, comme le codage de Huffman.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

25 6^{3} = 2^{24} = 16777216 couleurs 256³=2²⁴=16 777 216 couleurs 1920 \times 1080 \times 3 = 6220800 octets \approx 6, 2 Mo \times 4 en 4K 1920\times1080\times3=6 220 800 octets \approx6,2 Mo \times4 en 4K

Conclusion : la réponse à la question

Dénombrer, c'est ici dimensionner : 24 bits par pixel suffisent à dépasser la finesse de l'œil, mais rendent les images lourdes. La compression exploite la redondance et les limites de notre perception.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Combien de niveaux de gris avec 8 bits ?

$2^{8} = 256$ 2⁸=256, de 0 (noir) à 255 (blanc), les trois canaux étant égaux.

Combien de couleurs si chaque canal est codé sur 10 bits ?

$2^{30}$ 2³⁰, environ 1,07 milliard.

Pourquoi le principe multiplicatif s'applique-t-il ?

Les trois choix (rouge, vert, bleu) sont indépendants : chaque valeur de l'un se combine avec toutes celles des autres.

Que devient la taille si l'on divise la largeur et la hauteur par 2 ?

Le nombre de pixels est divisé par 4, donc la taille aussi.

Quelle est la couleur (255, 255, 0) ?

Du jaune : synthèse additive du rouge et du vert.

Les pièges qui coûtent des points

Additionner 256 + 256 + 256 au lieu de multiplier.
Confondre bits et octets dans le calcul de taille.
Croire que plus de couleurs codées signifie forcément une image meilleure à l'œil.

Revoir les notions

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