Existe-t-il un chiffrement impossible à casser, même avec une puissance de calcul infinie ?
Le masque jetable combine le message avec une clé aléatoire de même longueur par OU exclusif. Si la clé est uniforme et utilisée une seule fois, chaque message chiffré est également probable quel que soit le message clair : le chiffré n'apporte aucune information, ce que Shannon a démontré en 1949.
Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 9,5 min.
Pourquoi cette question : un modèle d'introduction
Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.
On répète souvent qu'aucun code n'est inviolable. Pourtant, j'ai appris que le « téléphone rouge » entre Washington et Moscou utilisait un chiffrement prouvé incassable. Cette affirmation m'a surpris : comment prouver mathématiquement qu'un espion ne peut rien apprendre ? La réponse est un raisonnement de probabilités très court.
L'enjeu et les notions du programme
Utiliser l'indépendance et l'équiprobabilité pour démontrer qu'un chiffrement ne révèle rien, et identifier les conditions de cette sécurité.
Mathématiques
- Équiprobabilité, loi uniforme (première)
- Probabilités conditionnelles et indépendance (première, terminale)
- Dénombrement des mots binaires (terminale)
Numérique et sciences informatiques
- Opérateur booléen xor (première)
- Chiffrement symétrique (terminale)
Le plan de l'exposé en 9,5 min
1. Introduction
1 minLa plupart des chiffrements sont sûrs parce que les casser prendrait trop de temps. Problématique : peut-on obtenir une sécurité qui ne dépende pas de la puissance de calcul de l'adversaire ?
2. Mathématiques : un chiffré qui ne dit rien
4 minLe OU exclusif ⊕ vérifie 0⊕0=0, 0⊕1=1⊕0=1, 1⊕1=0. Il a deux propriétés : x⊕ x=0 et x⊕0=x. Donc si c=m⊕ k, alors c⊕ k=m : la même clé chiffre et déchiffre.
On prend un message m de n bits et une clé k choisie uniformément parmi les 2ⁿ mots de n bits, indépendamment du message. Pour un message fixé et un chiffré c quelconque, il existe une seule clé qui donne c : k=m⊕ c. Donc P(C=c| M=m)=1/2ⁿ, quel que soit m.
Le chiffré est uniforme et indépendant du message : observer c ne change pas la probabilité de chaque message, P(M=m| C=c)=P(M=m). Même avec une puissance infinie, tester toutes les clés donne tous les messages possibles de n bits, sans moyen de choisir.
3. NSI : pourquoi on ne l'utilise presque jamais
3 minTrois conditions, toutes contraignantes : la clé doit être aussi longue que le message, vraiment aléatoire, et ne servir qu'une fois. Si on réutilise la clé, c₁⊕ c₂=m₁⊕ m₂ : la clé disparaît et l'on peut deviner les messages, comme l'ont fait les services américains dans le projet Venona.
Surtout, il faut transmettre en secret une clé aussi longue que le message : le problème n'est que déplacé. Les chiffrements modernes (AES) imitent le masque jetable avec une clé courte qui génère un flux pseudo-aléatoire : ils renoncent à la sécurité parfaite pour une sécurité calculatoire.
4. Conclusion
1,5 minLe masque jetable est le seul chiffrement à sécurité parfaite : avec une clé uniforme, indépendante et jamais réutilisée, le chiffré est indépendant du message. Son coût en clés le réserve à des usages exceptionnels. J'ouvre sur la distribution quantique de clés, qui cherche à résoudre le problème de l'échange.
Ce que j'écris au tableau
Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.
P(C=c| M=m)=1/2ⁿ pour tout m ⇒ P(M=m| C=c)=P(M=m)
Conclusion : la réponse à la question
Un chiffrement incassable existe et se démontre en quelques lignes de probabilités. Sa sécurité ne repose pas sur la difficulté d'un calcul, mais sur l'indépendance entre la clé et le message.
Les questions probables du jury
Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.
Calculez 1011 ⊕ 0110.
1101 : bit à bit, 1⊕0 = 1, 0⊕1 = 1, 1⊕1 = 0, 1⊕0 = 1.
Pourquoi réutiliser la clé est-il dangereux ?
c₁⊕ c₂=m₁⊕ m₂ : on obtient une combinaison des deux messages, sans clé, et la langue permet souvent de les séparer.
Que signifie l'indépendance de M et C ?
P(M=m∩ C=c)=P(M=m)× P(C=c) : connaître le chiffré ne modifie pas la probabilité du message.
Un générateur pseudo-aléatoire suffit-il pour la clé ?
Non pour la sécurité parfaite : la clé serait déterminée par une graine courte, qu'on pourrait chercher.
Combien de clés pour un message de 8 bits ?
2⁸=256, une pour chaque chiffré possible.
Les pièges qui coûtent des points
- Dire qu'il est incassable même si la clé est réutilisée.
- Confondre clé aléatoire et clé « qui semble aléatoire ».
- Oublier que la clé doit être aussi longue que le message.
Revoir les notions
Autres questions : cryptographie et sécurité
- Comment peut-on chiffrer un message avec une clé que tout le monde connaît ?
- Deux personnes peuvent-elles fabriquer un secret commun en ne s'échangeant que des messages publics ?
- Pourquoi une clé de 128 bits est-elle considérée comme incassable par force brute ?
- Combien de fichiers faut-il pour que deux d'entre eux aient la même empreinte numérique ?
Préparer l'oral, pas seulement le contenu
Gestion des 20 minutes de préparation, usage du tableau, posture debout, réponses au jury : la méthode complète, conforme aux règles de la session 2027.
Méthode : traiter une question de Grand oral →