Question transversaleMathsNSIDonnées et intelligence artificielle

Pourquoi le résultat d'un algorithme d'intelligence artificielle peut-il changer si l'on mesure en millimètres plutôt qu'en centimètres ?

Q: Pourquoi z a-t-il une moyenne nulle ?

La moyenne de $x-bar x$ est $bar x-bar x=0$, et diviser par $σ$ ne change rien à cela.

Q: Pourquoi z ne dépend-il pas de l'unité ?

Changer d'unité multiplie $x$, $bar x$ et $σ$ par le même nombre : le quotient ne change pas.

Q: Que vaut l'écart type de z ?

1 : diviser par $σ$ divise l'écart type par $σ$.

Avec la taille en centimètres et le poids en kilogrammes, la personne la plus proche de A(170 cm ; 60 kg) est B(180 ; 61). En millimètres, c'est C(171 ; 75) : l'écart de taille, multiplié par 10, écrase celui du poids. En centrant-réduisant chaque variable, on rend la distance indépendante des unités.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 9,5 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En reprenant l'algorithme des plus proches voisins sur des données de taille et de poids, j'ai changé par erreur l'unité de la taille, et le classement a complètement changé. J'ai trouvé inquiétant qu'un choix d'unité, purement conventionnel, modifie la décision d'une machine. J'ai cherché comment s'en protéger, et la solution m'a ramené à la moyenne et à l'écart type.

L'enjeu et les notions du programme

Montrer qu'une distance entre données hétérogènes dépend des unités, et utiliser le centrage-réduction pour la rendre pertinente.

Mathématiques

Distance dans un repère (seconde)
Moyenne, écart type (seconde, première)
Changement de variable affine (seconde)

Numérique et sciences informatiques

Algorithme des k plus proches voisins (première)
Préparation et nettoyage des données (première)

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. Introduction
1 min
Les algorithmes qui comparent des données calculent des distances entre des vecteurs de mesures. Problématique : que vaut une distance qui additionne des centimètres et des kilogrammes ?
2. Mathématiques : une distance qui dépend des unités
4 min
A mesure 170 cm et pèse 60 kg ; B : 180 cm, 61 kg ; C : 171 cm, 75 kg. En centimètres et kilogrammes : $d (A, B) = 1 0^{2} + 1^{2} \approx 10, 05$ d(A,B)=√(10²+1²)≈10,05 et $d (A, C) = 1^{2} + 1 5^{2} \approx 15, 03$ d(A,C)=√(1²+15²)≈15,03. B est le plus proche.
En millimètres : $d (A, B) = 10 0^{2} + 1^{2} \approx 100$ d(A,B)=√(100²+1²)≈100 et $d (A, C) = 1 0^{2} + 1 5^{2} \approx 18, 0$ d(A,C)=√(10²+15²)≈18,0. C devient le plus proche ! L'écart de taille, multiplié par 10, domine tout.
Remède : centrer-réduire chaque variable, c'est-à-dire remplacer $x$ x par $z = \frac{x - x ˉ}{σ}$ z=(x-bar x)/σ. La nouvelle variable a une moyenne 0 et un écart type 1, sans unité. Si l'écart type de la taille vaut 10 cm et celui du poids 12 kg : $d (A, B) = 1^{2} + (\frac{1}{12})^{2} \approx 1, 00$ d(A,B)=√(1²+(1/12)²)≈1,00 et $d (A, C) = 0, 1^{2} + 1, 2 5^{2} \approx 1, 25$ d(A,C)=√(0,1²+1,25²)≈1,25. Le résultat ne dépend plus de l'unité choisie, car un changement d'unité multiplie à la fois $x - \overset{x}{ˉ}$ x-bar x et $σ$ σ.
3. NSI : préparer les données
3 min
En Python, on calcule pour chaque colonne la moyenne et l'écart type sur le jeu d'entraînement, puis on transforme toutes les données, y compris les nouvelles, avec ces mêmes valeurs. Une autre méthode ramène chaque variable dans $[0; 1]$ [0;1] par $\frac{x - m i n}{m a x - m i n}$ (x-min)/(max-min).
Ce prétraitement est indispensable dès qu'un algorithme utilise des distances : plus proches voisins, regroupement, et beaucoup de réseaux de neurones. Il pose aussi une question de choix : centrer-réduire donne le même poids à chaque variable, ce qui n'est pas toujours souhaitable. Le jugement humain reste nécessaire.
4. Conclusion
1,5 min
Une distance qui mélange des unités différentes est arbitraire : en passant des centimètres aux millimètres, le plus proche voisin change. Centrer et réduire chaque variable rend la comparaison indépendante des unités. J'ouvre sur les biais des données elles-mêmes, que la normalisation ne corrige pas.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

cm, kg : d (A, B) \approx 10, 05 < d (A, C) \approx 15, 03 mm, kg : d (A, B) \approx 100 > d (A, C) \approx 18, 0 cm, kg : d(A,B)\approx10,05<d(A,C)\approx15,03 mm, kg : d(A,B)\approx100>d(A,C)\approx18,0 z = \frac{x - x ˉ}{σ} d (A, B) \approx 1, 00 < d (A, C) \approx 1, 25 z=(x-bar x)/σ d(A,B)\approx1,00<d(A,C)\approx1,25

Conclusion : la réponse à la question

Les unités ne doivent pas décider à la place des données. Le centrage-réduction, issu des statistiques, rend les variables comparables et la distance pertinente.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Pourquoi z a-t-il une moyenne nulle ?

La moyenne de $x - \overset{x}{ˉ}$ x-bar x est $\overset{x}{ˉ} - \overset{x}{ˉ} = 0$ bar x-bar x=0, et diviser par $σ$ σ ne change rien à cela.

Pourquoi z ne dépend-il pas de l'unité ?

Changer d'unité multiplie $x$ x, $\overset{x}{ˉ}$ bar x et $σ$ σ par le même nombre : le quotient ne change pas.

Que vaut l'écart type de z ?

1 : diviser par $σ$ σ divise l'écart type par $σ$ σ.

Faut-il recalculer moyenne et écart type pour chaque nouvelle donnée ?

Non : on garde ceux du jeu d'entraînement, sinon les données ne seraient pas transformées de la même façon.

Une autre normalisation possible ?

Ramener chaque variable dans [0 ; 1] avec (x − min)/(max − min).

Les pièges qui coûtent des points

Croire qu'une distance est objective quelles que soient les unités.
Normaliser le jeu de test avec ses propres moyennes.
Oublier que normaliser donne le même poids à toutes les variables.

Revoir les notions

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