Comment une machine trouve-t-elle la droite qui résume le mieux un nuage de points ?

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En NSI, nous avons prédit le prix d'un appartement à partir de sa surface. La machine traçait une droite au milieu du nuage de points, et je me suis demandé ce que voulait dire « la meilleure droite ». Il y a une infinité de droites possibles. J'ai découvert le critère des moindres carrés et compris qu'il se ramène à chercher le sommet d'une parabole.

L'enjeu et les notions du programme

Définir un critère d'ajustement et le minimiser par l'étude d'un polynôme du second degré, puis l'utiliser pour prédire.

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. 1. Introduction

   1 min

   On dispose de couples $(x_i;y_i)$(xᵢ;yᵢ) : surface et prix, heures de révision et note. On cherche une droite $y=ax+b$y=ax+b qui les résume pour prédire. Problématique : comment définir et trouver la « meilleure » droite ?

2. 2. Mathématiques : minimiser une somme de carrés

   4,5 min

   Pour une droite, on mesure l'écart vertical de chaque point, $y_i-(a{x}_i+b)$yᵢ-(axᵢ+b). On élève au carré pour que les écarts positifs et négatifs ne se compensent pas, et on additionne : $S(a,b)=\sum (y_i-a{x}_i-b{)}^2$S(a,b)=Σ(yᵢ-axᵢ-b)².

   Pente $a$a fixée : $S$S est un polynôme du second degré en $b$b, de coefficient dominant $n>0$n>0. Il est minimal au sommet, où la dérivée s'annule : $-2\sum (y_i-a{x}_i-b)=0$-2Σ(yᵢ-axᵢ-b)=0, soit $b=\bar{y}-a\bar{x}$b=bar y-abar x. La droite optimale passe donc par le point moyen $(\bar{x};\bar{y})$(bar x;bar y).

   En remplaçant $b$b, $S$S devient un polynôme du second degré en $a$a, minimal pour $a=\frac{\text{cov}(x,y)}{V(x)}$a=(cov (x,y))/V(x).

   Exemple : $x$x = 1, 2, 3, 4, 5 et $y$y = 3, 5, 6, 8, 10. On trouve $\bar{x}=3$bar x=3, $\bar{y}=6,4$bar y=6,4, $V(x)=2$V(x)=2, $\text{cov}(x,y)=3,4$cov (x,y)=3,4, d'où $a=1,7$a=1,7 et $b=6,4-1,7\times 3=1,3$b=6,4-1,7×3=1,3. Prédiction pour $x=6$x=6 : $1,7\times 6+1,3=11,5$1,7×6+1,3=11,5.

3. 3. NSI : apprendre, c'est minimiser

   2,5 min

   Le même principe est au cœur de l'apprentissage automatique : on choisit un modèle avec des paramètres, une erreur à minimiser, et on cherche les paramètres qui la rendent minimale. Ici, la solution s'écrit avec une formule ; pour des modèles plus complexes, on la cherche pas à pas (descente de gradient).

   Limites : la droite résume une tendance, elle ne dit rien d'une causalité ; et la prédiction loin des données observées (extrapolation) est risquée. Un point aberrant pèse lourd, car son écart est élevé au carré.

4. 4. Conclusion

   1,5 min

   La meilleure droite au sens des moindres carrés minimise la somme des carrés des écarts ; l'étude d'un polynôme du second degré donne $b=\bar{y}-a\bar{x}$b=bar y-abar x et $a=\frac{\text{cov}(x,y)}{V(x)}$a=(cov (x,y))/V(x). Apprendre, pour une machine, c'est souvent minimiser une erreur. J'ouvre sur la descente de gradient, qui fait de même sans formule.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Minimiser la somme des écarts sans carrés (ils se compensent).
• Confondre corrélation et causalité.
• Extrapoler loin des données.

Revoir les notions

• Second degré (Première spé maths) →
• Statistiques à deux variables (Première générale) →

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