Géométrie repérée en Seconde

Géométrie repérée en seconde : cours complet

En géométrie repérée, on travaille dans un repère du plan. On peut alors calculer des distances, des milieux, des alignements, des équations de droites… C'est la rencontre de l'algèbre et de la géométrie.

Le repère

Définition

Un repère du plan est constitué d'un point $O$O (origine) et de deux vecteurs $\vec{i}$vecteur i et $\vec{j}$vecteur j non colinéaires.

Types de repères

• Repère orthogonal : $\vec{i}$vecteur i et $\vec{j}$vecteur j sont perpendiculaires.
• Repère orthonormé : orthogonal et $\Vert \vec{i}\Vert =\Vert \vec{j}\Vert =1$‖ vecteur i ‖ = ‖ vecteur j ‖ = 1.
• Repère orthonormal : synonyme de orthonormé.

Coordonnées d'un point

Un point $M(x;y)$M(x ; y) vérifie $\overrightarrow{OM}=x\vec{i}+y\vec{j}$vecteur OM = x vecteur i + y vecteur j.

Coordonnées d'un vecteur

Formule

Si $A(x_A;y_A)$A(x_A ; y_A) et $B(x_B;y_B)$B(x_B ; y_B), alors :

$$\overrightarrow{AB}=\left(\begin{array}{c}{x}_B-x_A\\ y_B-y_A\end{array}\right)$$vecteur AB = x_B - x_A ; y_B - y_A

Exemple

Pour $A(2;5)$A(2 ; 5) et $B(7;-1)$B(7 ; -1) : $\overrightarrow{AB}=(5;-6)$vecteur AB = (5 ; -6).

Milieu d'un segment

$$I\text{ milieu de }[AB]⟺I=\left(\frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2}\right)$$I milieu de [AB] ⇔ I = ( (x_A + x_B)/2 ; (y_A + y_B)/2 )

Exemple

Pour $A(3;4)$A(3 ; 4) et $B(7;-2)$B(7 ; -2) : milieu = $(5;1)$(5 ; 1).

Distance entre deux points (repère orthonormé)

Formule

$$AB=\sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2}$$AB = √((x_B - x_A)² + (y_B - y_A)²)

C'est l'application du théorème de Pythagore dans le repère.

Exemple

Pour $A(1;2)$A(1 ; 2) et $B(4;6)$B(4 ; 6) :

$$AB=\sqrt{(4-1{)}^2+(6-2{)}^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$$AB = √((4-1)² + (6-2)²) = √(9 + 16) = √(25) = 5

Norme d'un vecteur (repère orthonormé)

$$\Vert \vec{u}\Vert =\sqrt{x^2+y^2}\text{pour }\vec{u}(x;y)$$‖ vecteur u ‖ = √(x² + y²) pour vecteur u (x ; y)

Vecteurs colinéaires en coordonnées

Critère

$\vec{u}(x;y)$vecteur u (x ; y) et $\vec{v}(x^{\prime };y^{\prime })$vecteur v (x' ; y') sont colinéaires ssi :

$$x{y}^{\prime }-x^{\prime }y=0$$x y' - x' y = 0

Conséquence

Trois points $A$A, $B$B, $C$C sont alignés si et seulement si $\overrightarrow{AB}$vecteur AB et $\overrightarrow{AC}$vecteur AC sont colinéaires.

Exemple

$A(1;2)$A(1 ; 2), $B(3;5)$B(3 ; 5), $C(7;11)$C(7 ; 11) alignés ?

$\overrightarrow{AB}=(2;3)$vecteur AB = (2 ; 3), $\overrightarrow{AC}=(6;9)$vecteur AC = (6 ; 9).

Test : $2\times 9-6\times 3=18-18=0$2 × 9 - 6 × 3 = 18 - 18 = 0 → oui, alignés.

Repérage d'un parallélogramme

$ABDC$ABDC est un parallélogramme ssi :

$$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$$vecteur AB = vecteur CD

En coordonnées

$x_B-x_A=x_D-x_C$x_B - x_A = x_D - x_C et $y_B-y_A=y_D-y_C$y_B - y_A = y_D - y_C.

Autre critère

Le milieu de $[AD]$[AD] = milieu de $[BC]$[BC].

Équation d'une droite

Droite non verticale

Toute droite non verticale a une équation de la forme :

$$y=mx+p$$y = mx + p

où $m$m est le coefficient directeur et $p$p est l'ordonnée à l'origine.

Droite verticale

$$x=c$$x = c

Calcul du coefficient directeur

Si $A(x_A;y_A)$A(x_A ; y_A) et $B(x_B;y_B)$B(x_B ; y_B) avec $x_A\ne x_B$x_A ≠ x_B :

$$m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$$m = (y_B - y_A)/(x_B - x_A)

Puis $p=y_A-m{x}_A$p = y_A - m x_A.

Exemple

Droite passant par $A(1;3)$A(1 ; 3) et $B(4;9)$B(4 ; 9) :

$$m=\frac{9-3}{4-1}=2\text{et}p=3-2\times 1=1$$m = (9 - 3)/(4 - 1) = 2 et p = 3 - 2 × 1 = 1

Équation : $y=2x+1$y = 2x + 1.

Droites parallèles

Deux droites $y=mx+p$y = mx + p et $y=m^{\prime }x+p^{\prime }$y = m'x + p' sont :

• Parallèles ssi $m=m^{\prime }$m = m'.
• Confondues ssi $m=m^{\prime }$m = m' et $p=p^{\prime }$p = p'.
• Sécantes ssi $m\ne m^{\prime }$m ≠ m'.

Intersection de deux droites

On résout le système des deux équations.

Exemple

$$\{\begin{array}{l}y=2x+1\\ y=-x+7\end{array}$$y = 2x + 1 ; y = -x + 7

$2x+1=-x+7⟺3x=6⟺x=2$2x + 1 = -x + 7 ⇔ 3x = 6 ⇔ x = 2. Puis $y=5$y = 5. Point d'intersection : $(2;5)$(2 ; 5).

Erreurs fréquentes à éviter

• Mal calculer le coefficient directeur : $\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$(y_B - y_A)/(x_B - x_A), attention à l'ordre.
• Oublier le repère orthonormé pour calculer une distance.
• Confondre coordonnées de point et de vecteur.
• Mauvais signe lors du calcul de $p=y-mx$p = y - mx.

FAQ — Géométrie repérée

Pourquoi un repère orthonormé pour les distances ?

Parce que le théorème de Pythagore exige des axes perpendiculaires et des unités égales pour s'appliquer correctement.

Comment savoir si trois points sont alignés ?

Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$vecteur AB et $\overrightarrow{AC}$vecteur AC doivent être colinéaires : $x{y}^{\prime }-x^{\prime }y=0$x y' - x' y = 0.

Quelle est l'équation d'une droite verticale ?

$x=c$x = c (où $c$c est une constante). Elle n'a pas de coefficient directeur.

À quoi sert la géométrie repérée ?

À traduire des problèmes de géométrie en calculs algébriques, ce qui les rend souvent plus faciles à résoudre.