Question transversaleMathsNSITransmettre et compresser

Comment un fichier arrive-t-il intact alors qu'internet perd régulièrement des paquets ?

Si chaque paquet est perdu avec une probabilité 2 %, la probabilité que 1 000 paquets arrivent tous du premier coup est 0,98¹⁰⁰⁰ ≈ 1,7 × 10⁻⁹ : presque nulle. Mais en renvoyant chaque paquet perdu, le nombre d'envois par paquet suit une loi géométrique d'espérance 1/0,98 ≈ 1,02 : le coût n'est que de 2 %.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 9,5 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En téléchargeant un gros fichier, je n'ai jamais reçu un fichier abîmé, alors qu'on m'a expliqué en NSI qu'internet perd régulièrement des paquets. Cela m'a semblé paradoxal. J'ai voulu comprendre comment le protocole TCP garantit l'arrivée de tout le fichier, et combien cela coûte, en utilisant les probabilités de terminale.

L'enjeu et les notions du programme

Opposer la probabilité qu'aucune perte ne survienne et le coût moyen des retransmissions, avec une puissance et une loi géométrique.

Mathématiques

Épreuves indépendantes, probabilité d'une intersection (première)
Loi géométrique, espérance (terminale)
Suites géométriques, limite de qⁿ (première, terminale)

Numérique et sciences informatiques

Protocole TCP, accusés de réception (première)
Découpage en paquets, réseaux (première)

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. Introduction
1 min
Un fichier est découpé en paquets qui voyagent indépendamment. Sur un réseau chargé, certains se perdent. Problématique : comment le fichier peut-il arriver complet, et combien de paquets supplémentaires faut-il envoyer ?
2. Mathématiques : deux calculs qui semblent contradictoires
4 min
Chaque paquet est perdu avec une probabilité $p = 0, 02$ p=0,02, indépendamment. Probabilité que 1 000 paquets arrivent tous du premier coup : $0, 9 8^{1000} = e^{1000 l n 0, 98} \approx e^{- 20, 2} \approx 1, 7 \times 1 0^{- 9}$ 0,98¹⁰⁰⁰=e^(1000ln0,98)≈ e^(-20,2)≈1,7×10⁻⁹. Pour 100 paquets : $0, 9 8^{100} \approx 0, 13$ 0,98¹⁰⁰≈0,13. Comme $0 < 0, 98 < 1$ 0<0,98<1, la suite $0, 9 8^{n}$ 0,98ⁿ tend vers 0 : sans retransmission, un gros fichier n'arriverait jamais intact.
Avec retransmission, on renvoie chaque paquet jusqu'à ce qu'il arrive. Le nombre d'envois d'un paquet suit une loi géométrique de paramètre $0, 98$ 0,98 : espérance $\frac{1}{0 , 98} \approx 1, 02$ 1/0,98≈1,02. Pour 1 000 paquets, environ 1 020 envois en moyenne : seulement 2 % de plus.
Probabilité qu'un paquet doive être envoyé plus de 3 fois : $0, 0 2^{3} = 8 \times 1 0^{- 6}$ 0,02³=8×10⁻⁶. La retransmission transforme une catastrophe quasi certaine en un surcoût minime.
3. NSI : le protocole TCP
3 min
Le récepteur numérote les paquets et envoie un accusé de réception. Si l'émetteur ne le reçoit pas dans un délai donné, il renvoie le paquet. Une somme de contrôle détecte aussi les paquets abîmés, traités comme perdus. Les paquets arrivés dans le désordre sont remis dans l'ordre grâce à leur numéro.
Une perte est aussi un signal : TCP en déduit que le réseau est encombré et ralentit son envoi, ce qui évite l'effondrement du réseau. Pour la vidéo en direct ou le jeu en ligne, on préfère UDP, sans retransmission : mieux vaut perdre une image que la recevoir en retard.
4. Conclusion
1,5 min
Sans retransmission, la probabilité de tout recevoir, $0, 9 8^{n}$ 0,98ⁿ, tend vers 0 ; avec retransmission, le coût moyen n'est que de $\frac{1}{0 , 98} \approx 1, 02$ 1/0,98≈1,02 envoi par paquet. La loi géométrique explique pourquoi internet est fiable malgré ses pertes. J'ouvre sur les codes correcteurs utilisés quand on ne peut pas redemander, par exemple pour la télévision.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

0, 9 8^{1000} = e^{1000 l n 0, 98} \approx 1, 7 \times 1 0^{- 9} 0, 9 8^{100} \approx 0, 13 0,98¹⁰⁰⁰=e^(1000ln0,98)\approx1,7\times10⁻⁹ 0,98¹⁰⁰\approx0,13 N \sim G (0, 98) : E (N) = \frac{1}{0 , 98} \approx 1, 02 P (N > 3) = 0, 0 2^{3} = 8 \times 1 0^{- 6} N~mathcal G(0,98): E(N)=1/0,98\approx1,02 P(N>3)=0,02³=8\times10⁻⁶

Conclusion : la réponse à la question

Les pertes sont certaines à grande échelle, mais leur coût moyen est faible si l'on renvoie ce qui manque. Une puissance qui tend vers 0 et une espérance géométrique proche de 1 résument tout l'intérêt du protocole TCP.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Pourquoi 0,98ⁿ tend-il vers 0 ?

C'est une suite géométrique de raison comprise strictement entre 0 et 1.

Calculez 1 000 ln 0,98.

$ln 0, 98 \approx - 0, 0202$ ln0,98≈-0,0202, donc environ $- 20, 2$ -20,2.

Que vaut P(N = 2) ?

$0, 02 \times 0, 98 = 0, 0196$ 0,02×0,98=0,0196 : une perte puis un succès.

Pourquoi UDP pour la vidéo en direct ?

Une image retransmise arriverait trop tard pour être utile ; on préfère la sauter.

Comment l'émetteur sait-il qu'un paquet est perdu ?

Il ne reçoit pas d'accusé de réception dans le délai prévu.

Les pièges qui coûtent des points

Confondre probabilité de tout recevoir du premier coup et coût moyen des retransmissions.
Oublier l'hypothèse d'indépendance des pertes.
Croire que TCP empêche les pertes : il les répare.

Revoir les notions

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