Pourquoi mes amis ont-ils en moyenne plus d'amis que moi ?

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En regardant mon réseau social, j'ai eu l'impression que mes amis avaient tous plus d'amis que moi. J'ai cru à un sentiment personnel, jusqu'à découvrir que c'est un résultat mathématique, publié par le sociologue Scott Feld en 1991. J'ai voulu le démontrer, et j'ai été surpris d'y retrouver la variance de mes cours de statistiques.

L'enjeu et les notions du programme

Montrer, à l'aide de la variance, qu'une moyenne pondérée par le degré dépasse la moyenne simple, et en tirer des conséquences pratiques.

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. 1. Introduction

   1 min

   Dans un réseau social, chaque personne a un nombre d'amis, son degré. Problématique : si je choisis un ami de quelqu'un au hasard, son nombre d'amis est-il en moyenne égal à la moyenne du réseau ?

2. 2. Mathématiques : une moyenne pondérée par le degré

   4 min

   Petit réseau : A est ami avec B, C et D ; B est ami avec C. Degrés : A 3, B 2, C 2, D 1. Degré moyen : $\frac{8}{4}=2$8/4=2.

   Choisissons maintenant un « ami » au hasard : on tire une extrémité d'amitié au hasard. Chaque personne apparaît autant de fois qu'elle a d'amis : A trois fois, B et C deux fois, D une fois, sur 8 extrémités. Le degré moyen d'un ami est donc $\frac{3\times 3+2\times 2+2\times 2+1\times 1}{8}=\frac{18}{8}=2,25$(3×3+2×2+2×2+1×1)/8=18/8=2,25.

   En général, cette moyenne vaut $\frac{\sum d_i^2}{\sum d_i}=\frac{E(d^2)}{E(d)}$(Σ dᵢ²)/(Σ dᵢ)=E(d²)/E(d). Avec la formule de König-Huygens $E(d^2)=V(d)+E(d{)}^2$E(d²)=V(d)+E(d)² : $\frac{E(d^2)}{E(d)}=E(d)+\frac{V(d)}{E(d)}$E(d²)/E(d)=E(d)+V(d)/E(d). Comme la variance est positive, les amis ont en moyenne au moins autant d'amis que la moyenne, et strictement plus dès que les degrés ne sont pas tous égaux. Ici, $V(d)=4,5-4=0,5$V(d)=4,5-4=0,5 et $2+\frac{0,5}{2}=2,25$2+0,5/2=2,25.

3. 3. NSI : vérifier et utiliser

   3 min

   À partir d'une liste d'adjacence, on calcule en Python les degrés, leur moyenne, puis la moyenne des degrés des voisins : sur un vrai réseau social, l'écart est grand, car quelques comptes ont des milliers d'amis et une variance énorme.

   Application en épidémiologie : pour surveiller une épidémie, on gagne à suivre non pas des personnes au hasard, mais des amis de personnes tirées au hasard, plus connectés, donc touchés plus tôt. L'idée a été testée pendant la grippe de 2009 à Harvard : le groupe des « amis » a été atteint environ deux semaines plus tôt.

4. 4. Conclusion

   1,5 min

   Mes amis ont en moyenne plus d'amis que moi parce qu'en choisissant un ami, on pondère chacun par son nombre d'amis : la moyenne obtenue dépasse la moyenne simple d'un terme $\frac{V(d)}{E(d)}$V(d)/E(d). Ce n'est pas une impression, c'est un effet de sélection. J'ouvre sur le paradoxe de l'inspection, de même nature, pour les bus en retard.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Confondre la moyenne des degrés et la moyenne des degrés des amis.
• Oublier que chaque amitié compte deux fois dans la somme des degrés.
• Croire à un biais psychologique plutôt qu'à un effet de sélection.

Revoir les notions

• Variables aléatoires (Première spé maths) →
• Statistiques descriptives (Seconde) →

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