Question transversaleMathsNSIReprésenter l'information

Pourquoi les informaticiens écrivent-ils en base 16 plutôt qu'en base 10 ?

Q: Convertissez 2026 en hexadécimal.

$2026=7×256+234$ et $234=14×16+10$ : $7EA₁₆$.

Q: Pourquoi un chiffre décimal demande-t-il 3,32 bits en moyenne ?

Car $log₂ 10≈3,32$ : il faut $log₂ 10$ bits pour coder 10 possibilités équiprobables.

Q: Que représente la couleur #000000 ?

Le noir : les trois canaux sont à 0.

Q: Peut-on convertir la base 8 en base 16 chiffre par chiffre ?

Pas directement : il faut repasser par le binaire (3 bits par chiffre octal, 4 par chiffre hexadécimal).

Comme 16 = 2⁴, chaque chiffre hexadécimal remplace exactement 4 bits : un octet s'écrit avec deux chiffres, de 00 à FF = 255. La base 10, elle, ne se découpe pas ainsi, car 10 n'est pas une puissance de 2.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 9,5 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En créant une page web en NSI, j'ai dû écrire des couleurs comme #2A7FFF. Je trouvais ce code mystérieux, jusqu'à ce que je comprenne que ce sont trois nombres écrits en base 16. Je me suis demandé pourquoi on n'écrivait pas simplement « 42, 127, 255 », et la réponse tient à une propriété des puissances.

L'enjeu et les notions du programme

Comprendre l'écriture d'un entier dans une base quelconque et montrer pourquoi la base 16 se convertit en base 2 chiffre par chiffre.

Mathématiques

Puissances, règles de calcul (seconde)
Division euclidienne (seconde)
Sommes de termes, écriture d'un entier (première)

Numérique et sciences informatiques

Écriture d'un entier en base 2, 10, 16 (première)
Codage des couleurs en HTML et CSS (première)

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. Introduction
1 min
Le binaire est la langue de la machine, mais il est illisible : 255 s'écrit $11111111$ 11111111. Problématique : pourquoi la base 16 est-elle le meilleur intermédiaire entre l'humain et la machine ?
2. Mathématiques : écrire un nombre dans une base
4 min
En base $b$ b, un nombre s'écrit $a_{k} \dots a_{1} a_{0}$ aₖ… a₁a₀ avec $n = a_{k} b^{k} + \dots + a_{1} b + a_{0}$ n=aₖb^(k)+…+a₁b+a₀ et $0 \leq a_{i} < b$ 0≤ aᵢ<b. En base 16, on utilise les chiffres 0 à 9 puis A (10) à F (15). Exemple : $2 A_{16} = 2 \times 16 + 10 = 42$ 2A₁₆=2×16+10=42, $F F_{16} = 15 \times 16 + 15 = 255$ FF₁₆=15×16+15=255.
Propriété clé : $16 = 2^{4}$ 16=2⁴. Un chiffre hexadécimal vaut entre 0 et 15, donc s'écrit exactement sur 4 bits. Et comme $1 6^{j} = 2^{4 j}$ 16^(j)=2^(4j), on peut convertir chiffre par chiffre : $2 A_{16} = 0010101 0_{2}$ 2A₁₆=0010 1010₂. Un octet (8 bits) correspond exactement à deux chiffres hexadécimaux.
La base 10 n'a pas cette propriété : 10 n'est pas une puissance de 2, et un chiffre décimal demande entre 3 et 4 bits ( $lo g_{2} 10 \approx 3, 32$ log₂ 10≈3,32). Pour convertir, il faut des divisions successives sur tout le nombre.
3. NSI : l'hexadécimal partout
3 min
Les couleurs du web : $#2 A 7 F F F$ #2A7FFF se lit $(2 A, 7 F, F F) = (42, 127, 255)$ (2A,7F,FF)=(42,127,255), un bleu. Les adresses mémoire et les adresses MAC des cartes réseau sont écrites en hexadécimal, tout comme les adresses IPv6. Le contenu d'un fichier s'examine en « hexdump », deux chiffres par octet.
En Python, $hex(255)$ hex(255) renvoie $’0xff’$ '0xff' et $int(’2A’,16)$ int('2A',16) renvoie 42. L'hexadécimal n'apporte aucune information de plus que le binaire : il le rend seulement quatre fois plus court et lisible.
4. Conclusion
1,5 min
La base 16 s'impose parce que $16 = 2^{4}$ 16=2⁴ : chaque chiffre code un paquet de 4 bits, et deux chiffres font un octet. C'est un raccourci d'écriture du binaire. J'ouvre sur la base 8, utilisée pour les droits des fichiers sous Linux, qui repose sur $8 = 2^{3}$ 8=2³.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

n = a_{k} 1 6^{k} + \dots + a_{1} 16 + a_{0} 16 = 2^{4} n=aₖ16^(k)+\dots+a₁16+a₀ 16=2⁴ 2 A_{16} = 2 \times 16 + 10 = 42 = 0010101 0_{2} F F_{16} = 255 2A₁₆=2\times16+10=42=0010 1010₂ FF₁₆=255

Conclusion : la réponse à la question

Écrire en base 16, c'est écrire en binaire par paquets de 4 bits : la conversion est immédiate, contrairement à la base 10. Le choix d'une base n'est pas une convention arbitraire, il découle des puissances.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Convertissez 2026 en hexadécimal.

$2026 = 7 \times 256 + 234$ 2026=7×256+234 et $234 = 14 \times 16 + 10$ 234=14×16+10 : $7 E A_{16}$ 7EA₁₆.

Quel est le plus grand nombre à 4 chiffres hexadécimaux ?

$F F F F_{16} = 1 6^{4} - 1 = 65535$ FFFF₁₆=16⁴-1=65 535.

Pourquoi un chiffre décimal demande-t-il 3,32 bits en moyenne ?

Car $lo g_{2} 10 \approx 3, 32$ log₂ 10≈3,32 : il faut $lo g_{2} 10$ log₂ 10 bits pour coder 10 possibilités équiprobables.

Que représente la couleur #000000 ?

Le noir : les trois canaux sont à 0.

Peut-on convertir la base 8 en base 16 chiffre par chiffre ?

Pas directement : il faut repasser par le binaire (3 bits par chiffre octal, 4 par chiffre hexadécimal).

Les pièges qui coûtent des points

Oublier que A vaut 10 et F vaut 15.
Convertir de gauche à droite sans tenir compte des puissances.
Croire que la base 16 « compresse » l'information : elle ne fait que l'écrire autrement.

Revoir les notions

Autres questions : représenter l'information

Toutes les questions maths-nsi →

Préparer l'oral, pas seulement le contenu

Gestion des 20 minutes de préparation, usage du tableau, posture debout, réponses au jury : la méthode complète, conforme aux règles de la session 2027.

Méthode : traiter une question de Grand oral →

Continuer la préparation

Le Grand oral 2027 →Méthode : traiter une question →Toutes les questions, par combinaison →Questions de maths seules →Questions maths-physique-chimie →Questions maths-SES →Questions maths-SVT →Questions maths-SI →Questions maths-HGGSP →Questions maths-anglais →