Question transversaleMathsNSIRécursivité et récurrence

Pourquoi additionner les chiffres d'un nombre, puis recommencer, donne-t-il toujours son reste dans la division par 9 ?

Q: Donnez une erreur que la preuve par neuf ne détecte pas.

Écrire 7 006 625 au lieu de 7 006 652 : mêmes chiffres, même somme, même racine numérique.

Q: Pourquoi S(n) < n dès que n ≥ 10 ?

$n-S(n)$ est une somme de termes $aⱼ(10^(j)-1)$ positifs, non tous nuls quand $n$ a au moins deux chiffres.

Q: Le même principe marche-t-il avec 3 ?

Oui, car 9 est un multiple de 3 : un nombre est divisible par 3 si et seulement si la somme de ses chiffres l'est.

Q: Écrivez S(n) récursivement en Python.

Si n vaut 0, renvoyer 0 ; sinon renvoyer n % 10 + S(n // 10).

Comme 10ᵏ − 1 est divisible par 9, un nombre et la somme de ses chiffres ont le même reste dans la division par 9. En répétant récursivement, on arrive à un chiffre : 2 026 → 10 → 1, et 2 026 = 9 × 225 + 1. La preuve par neuf en découle, avec ses limites.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 9,5 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Mon grand-père vérifiait ses multiplications avec la « preuve par neuf », une méthode que je trouvais magique. En NSI, j'ai écrit une fonction récursive qui additionne les chiffres d'un nombre jusqu'à n'en garder qu'un. J'ai remarqué que le résultat était toujours le reste de la division par 9. J'ai voulu le démontrer et comprendre ce que vaut vraiment cette preuve.

L'enjeu et les notions du programme

Démontrer une propriété de divisibilité par l'écriture décimale, en déduire la correction d'une fonction récursive et les limites d'une méthode de vérification.

Mathématiques

Division euclidienne, multiples et restes (seconde)
Écriture décimale, puissances de 10 (seconde)
Raisonnement par récurrence (terminale)

Numérique et sciences informatiques

Récursivité, terminaison (terminale)
Opérations // et % sur les entiers (première)

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. Introduction
1 min
La racine numérique d'un nombre s'obtient en additionnant ses chiffres, puis en recommençant jusqu'à obtenir un seul chiffre : $2026 \to 10 \to 1$ 2026→10→1. Problématique : pourquoi ce chiffre est-il lié au reste de la division par 9, et que vaut la preuve par neuf ?
2. Mathématiques : un nombre et la somme de ses chiffres
4 min
Écrivons $n = a_{k} 1 0^{k} + \dots + a_{1} 10 + a_{0}$ n=aₖ10^(k)+…+a₁10+a₀ et $S (n) = a_{k} + \dots + a_{1} + a_{0}$ S(n)=aₖ+…+a₁+a₀. Alors $n - S (n) = a_{k} (1 0^{k} - 1) + \dots + a_{1} (10 - 1)$ n-S(n)=aₖ(10^(k)-1)+…+a₁(10-1).
Or $1 0^{j} - 1 = 99 \dots 9$ 10^(j)-1=99…9 ( $j$ j chiffres 9) est un multiple de 9. Donc $n - S (n)$ n-S(n) est un multiple de 9 : $n$ n et $S (n)$ S(n) ont le même reste dans la division par 9.
En répétant, on garde ce reste. Comme $S (n) < n$ S(n)<n dès que $n \geq 10$ n≥10, les valeurs décroissent jusqu'à un nombre à un chiffre. On obtient le reste, sauf qu'un multiple non nul de 9 donne 9 au lieu de 0. Exemple : $2026 \to 10 \to 1$ 2026→10→1, et $2026 = 9 \times 225 + 1$ 2026=9×225+1.
Preuve par neuf : les restes se multiplient. Pour $1234 \times 5678 = 7006652$ 1234×5678=7 006 652 : $1234 \to 1$ 1234→1, $5678 \to 26 \to 8$ 5678→26→8, $1 \times 8 = 8$ 1×8=8, et $7006652 \to 26 \to 8$ 7 006 652→26→8. Concordance : le résultat est plausible.
3. NSI : la fonction récursive et ses limites
3 min
La somme des chiffres se calcule récursivement : $S (n) = n % 10 + S (n // 10)$ S(n)=n % 10+S(n // 10), avec $S (0) = 0$ S(0)=0. La racine numérique : si $n < 10$ n<10, renvoyer $n$ n, sinon renvoyer racine( $S (n)$ S(n)). La terminaison vient de $S (n) < n$ S(n)<n pour $n \geq 10$ n≥10.
La preuve par neuf détecte beaucoup d'erreurs, mais pas toutes : si l'on inverse deux chiffres du résultat, ou si l'on se trompe d'un multiple de 9, les restes restent égaux. Elle prouve qu'un résultat est faux, jamais qu'il est juste. C'est le principe des sommes de contrôle utilisées pour détecter les erreurs de transmission.
4. Conclusion
1,5 min
Additionner les chiffres conserve le reste modulo 9 parce que $1 0^{j} - 1$ 10^(j)-1 est multiple de 9. La fonction récursive termine et donne ce reste, et la preuve par neuf en découle : utile pour repérer des erreurs, insuffisante pour garantir un calcul. J'ouvre sur la clé du numéro de sécurité sociale, qui utilise le reste modulo 97.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

n - S (n) = a_{k} (1 0^{k} - 1) + \dots + a_{1} (10 - 1) 1 0^{j} - 1 = 99 \dots 9 n-S(n)=aₖ(10^(k)-1)+\dots+a₁(10-1) 10^(j)-1=99\dots9 2026 \to 10 \to 1 = 2026 - 9 \times 2251234 \times 5678 : 1 \times 8 = 8 et 7006652 \to 8 2026\to10\to1=2026-9\times225 1234\times5678: 1\times8=8 et 7 006 652\to8

Conclusion : la réponse à la question

La racine numérique est le reste dans la division par 9, conservé à chaque somme de chiffres. La preuve par neuf utilise ce fait pour contrôler un calcul, sans jamais le garantir.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Pourquoi 10^j − 1 est-il un multiple de 9 ?

C'est $99 \dots 9 = 9 \times 11 \dots 1$ 99…9=9×11…1.

Donnez une erreur que la preuve par neuf ne détecte pas.

Écrire 7 006 625 au lieu de 7 006 652 : mêmes chiffres, même somme, même racine numérique.

Pourquoi S(n) < n dès que n ≥ 10 ?

$n - S (n)$ n-S(n) est une somme de termes $a_{j} (1 0^{j} - 1)$ aⱼ(10^(j)-1) positifs, non tous nuls quand $n$ n a au moins deux chiffres.

Le même principe marche-t-il avec 3 ?

Oui, car 9 est un multiple de 3 : un nombre est divisible par 3 si et seulement si la somme de ses chiffres l'est.

Écrivez S(n) récursivement en Python.

Si n vaut 0, renvoyer 0 ; sinon renvoyer n % 10 + S(n // 10).

Les pièges qui coûtent des points

Croire que la preuve par neuf garantit un résultat juste.
Oublier le cas des multiples de 9, dont la racine vaut 9 et non 0.
Ne pas justifier la terminaison de la fonction.

Revoir les notions

Autres questions : récursivité et récurrence

Toutes les questions maths-nsi →

Préparer l'oral, pas seulement le contenu

Gestion des 20 minutes de préparation, usage du tableau, posture debout, réponses au jury : la méthode complète, conforme aux règles de la session 2027.

Méthode : traiter une question de Grand oral →

Continuer la préparation

Le Grand oral 2027 →Méthode : traiter une question →Toutes les questions, par combinaison →Questions de maths seules →Questions maths-physique-chimie →Questions maths-SES →Questions maths-SVT →Questions maths-SI →Questions maths-HGGSP →Questions maths-anglais →