Question transversaleMathsNSITransmettre et compresser

Comment un serveur peut-il perdre un disque dur sans perdre aucune donnée ?

Avec trois disques de données et un disque de parité qui stocke leur OU exclusif, n'importe quel disque perdu se reconstruit : B = A ⊕ C ⊕ P. Si chaque disque a 2 % de risque de panne par an, perdre des données exige deux pannes : environ 0,23 % au lieu de près de 6 % sans protection.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 9,5 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Un ami a perdu toutes les photos de ses vacances quand le disque dur de son ordinateur est tombé en panne. Je me suis demandé comment font les entreprises et les hébergeurs, dont les disques tombent en panne tous les jours. En NSI, j'ai découvert les systèmes RAID, qui utilisent une propriété très simple du OU exclusif pour reconstituer un disque perdu.

L'enjeu et les notions du programme

Utiliser les propriétés algébriques du OU exclusif pour reconstruire une donnée, et la loi binomiale pour évaluer le gain de fiabilité.

Mathématiques

Loi binomiale, événement contraire (première)
Raisonnement algébrique : propriétés d'une opération (seconde)
Indépendance d'événements (première)

Numérique et sciences informatiques

Opérateur xor (première)
Architecture matérielle, stockage (première)

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. Introduction
1 min
Un disque dur peut tomber en panne à tout moment. Copier chaque disque en double est sûr mais coûteux. Problématique : peut-on protéger plusieurs disques avec un seul disque supplémentaire ?
2. Mathématiques : les propriétés du OU exclusif
4 min
Le OU exclusif bit à bit vérifie : $x \oplus x = 0$ x⊕ x=0, $x \oplus 0 = x$ x⊕0=x, et il est associatif et commutatif. On stocke sur trois disques les données $A$ A, $B$ B, $C$ C et sur un quatrième $P = A \oplus B \oplus C$ P=A⊕ B⊕ C.
Si le disque $B$ B tombe en panne : $A \oplus C \oplus P = A \oplus C \oplus A \oplus B \oplus C = (A \oplus A) \oplus (C \oplus C) \oplus B = B$ A⊕ C⊕ P=A⊕ C⊕ A⊕ B⊕ C=(A⊕ A)⊕(C⊕ C)⊕ B=B. On le reconstruit exactement. Exemple sur 4 bits : $A = 1011$ A=1011, $B = 0110$ B=0110, $C = 1100$ C=1100, $P = 0001$ P=0001 ; alors $A \oplus C \oplus P = 0110 = B$ A⊕ C⊕ P=0110=B.
Fiabilité : chaque disque tombe en panne dans l'année avec la probabilité 0,02, indépendamment. Sans protection, on perd des données dès qu'un des 3 disques tombe : $1 - 0, 9 8^{3} \approx 5, 9 %$ 1-0,98³≈5,9 %. Avec le disque de parité, il faut deux pannes parmi 4 (si l'on ne remplace pas le premier disque) : $1 - 0, 9 8^{4} - 4 \times 0, 02 \times 0, 9 8^{3} \approx 0, 23 %$ 1-0,98⁴-4×0,02×0,98³≈0,23 %. En pratique, on remplace le disque en panne en quelques heures, et le risque devient bien plus faible encore.
3. NSI : le RAID 5 en pratique
3 min
Dans le RAID 5, la parité est répartie sur tous les disques, pour ne pas surcharger un seul disque. Le coût est d'un disque sur $n$ n : pour 4 disques, 75 % de l'espace reste utile, contre 50 % avec une copie en double (RAID 1).
Limite : pendant la reconstruction, longue sur de gros disques, une deuxième panne est fatale. On utilise alors le RAID 6, avec deux disques de redondance. Et le RAID ne remplace pas une sauvegarde : une suppression accidentelle ou un virus sont recopiés sur tous les disques.
4. Conclusion
1,5 min
Un seul disque de parité, calculé par OU exclusif, permet de reconstruire n'importe quel disque perdu, parce que $x \oplus x = 0$ x⊕ x=0. La loi binomiale montre que le risque de perte passe d'environ 6 % à moins de 0,3 % par an. J'ouvre sur les codes de Reed-Solomon, qui protègent contre plusieurs pannes simultanées.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

P = A \oplus B \oplus C A \oplus C \oplus P = B (x \oplus x = 0) P=A\oplus B\oplus C A\oplus C\oplus P=B (x\oplus x=0) 1 - 0, 9 8^{3} \approx 5, 9 % 1 - 0, 9 8^{4} - 4 \times 0, 02 \times 0, 9 8^{3} \approx 0, 23 % 1-0,98³\approx5,9 % 1-0,98⁴-4\times0,02\times0,98³\approx0,23 %

Conclusion : la réponse à la question

La propriété $x \oplus x = 0$ x⊕ x=0 suffit à reconstruire un disque entier. Combinée à la loi binomiale, elle montre comment un petit surcoût de stockage réduit fortement le risque de perte.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Calculez 1011 ⊕ 0110 ⊕ 1100.

1011 ⊕ 0110 = 1101, puis 1101 ⊕ 1100 = 0001.

Peut-on reconstruire deux disques perdus ?

Non avec une seule parité : une équation ne détermine pas deux inconnues.

Pourquoi 4 × 0,02 × 0,98³ ?

C'est la probabilité qu'exactement un disque sur quatre tombe en panne : loi binomiale avec k = 1.

Le RAID remplace-t-il une sauvegarde ?

Non : une erreur humaine ou un virus touchent toutes les copies à la fois.

Quel est l'espace utile avec 5 disques en RAID 5 ?

4 disques sur 5, soit 80 %.

Les pièges qui coûtent des points

Croire que le RAID protège contre toutes les pertes.
Oublier l'hypothèse d'indépendance des pannes.
Penser que la parité permet de reconstruire plusieurs disques.

Revoir les notions

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