Second degré en Première spé maths

Le second degré en Première spé : cours complet

Les fonctions polynômes du second degré sont de la forme $f(x)=a{x}^2+bx+c$f(x) = ax² + bx + c avec $a\ne 0$a ≠ 0. Tu maîtrises maintenant la forme canonique, le discriminant et tu sais factoriser et étudier le signe.

Définition et formes

Forme développée

$$f(x)=a{x}^2+bx+c(a\ne 0)$$f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0)

Forme canonique

$$f(x)=a(x-\alpha {)}^2+\beta$$f(x) = a(x - α)² + β

avec $\alpha =-\frac{b}{2a}$α = -b/2a et $\beta =f(\alpha )=-\frac{\Delta }{4a}$β = f(α) = -Δ/4a.

Forme factorisée (si elle existe)

• Si $\Delta >0$Δ > 0 : $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$f(x) = a(x - x₁)(x - x₂).
• Si $\Delta =0$Δ = 0 : $f(x)=a(x-x_0{)}^2$f(x) = a(x - x₀)².

Le discriminant

$$\Delta =b^2-4ac$$Δ = b² - 4ac

Trois cas

Représentation graphique

La courbe est une parabole :

• $a>0$a > 0 : tournée vers le haut (minimum en $\alpha$α, valeur $\beta$β).
• $a<0$a < 0 : tournée vers le bas (maximum en $\alpha$α, valeur $\beta$β).

Sommet : $S(\alpha ;\beta )$S(α ; β)

Axe de symétrie : $x=\alpha$x = α

Variations

Cas $a>0$a > 0

Cas $a<0$a < 0

Signe

Le signe dépend de $\Delta$Δ et de $a$a :

Règle mnémo : « le signe est celui de $a$a à l'extérieur, celui de $-a$-a entre les racines ». Sans racine ($\Delta <0$Δ < 0), le signe est celui de $a$a partout.

Somme et produit des racines

Si $\Delta \ge 0$Δ ≥ 0, on a :

$$x_1+x_2=-\frac{b}{a}{x}_1\times x_2=\frac{c}{a}$$x₁ + x₂ = -b/a x₁ × x₂ = c/a

Utile pour trouver des racines (par devinette / vérification).

Méthodologie

Pour étudier une fonction du second degré

1. Identifier $a,b,c$a, b, c.
2. Calculer le discriminant $\Delta$Δ.
3. Déterminer les racines (si elles existent).
4. Construire le tableau de signes.
5. Si demandé, écrire la forme canonique et identifier le sommet.

Pour résoudre une équation

$$a{x}^2+bx+c=0$$ax² + bx + c = 0

1. Calculer $\Delta$Δ.
2. Appliquer la formule des racines selon le cas.

Pour résoudre une inéquation

$$a{x}^2+bx+c\ge 0(\text{ou }\le ,>,<)$$ax² + bx + c ≥ 0 ( ou ≤, > , <)

On utilise le tableau de signes.

Exemples

Exemple 1

Résoudre $2x^2-5x-3=0$2x² - 5x - 3 = 0.

• $\Delta =25+24=49$Δ = 25 + 24 = 49.
• $x_1=\frac{5-7}{4}=-\frac{1}{2}$x₁ = (5 - 7)/4 = -1/2 ; $x_2=\frac{5+7}{4}=3$x₂ = (5 + 7)/4 = 3.

Exemple 2

Étudier le signe de $-x^2+4x-4$-x² + 4x - 4.

• $\Delta =16-16=0$Δ = 16 - 16 = 0 → racine double $x_0=2$x₀ = 2.
• $a=-1<0$a = -1 < 0 : la parabole est tournée vers le bas, donc $f(x)\le 0$f(x) ≤ 0 pour tout $x$x (et $=0$= 0 seulement en $x=2$x = 2).

Exemple 3

Pour la fonction $f(x)=x^2-6x+5$f(x) = x² - 6x + 5 :

• Forme canonique : $f(x)=(x-3{)}^2-4$f(x) = (x - 3)² - 4.
• Sommet : $S(3;-4)$S(3 ; -4).
• $\Delta =36-20=16$Δ = 36 - 20 = 16, racines $x_1=1$x₁ = 1 et $x_2=5$x₂ = 5.

Erreurs fréquentes à éviter

• Mauvais signe de $\Delta$Δ.
• Formule des racines mal appliquée.
• Inverser le sens du tableau de signes.
• Oublier qu'il y a deux racines (ne pas s'arrêter à la première).

FAQ — Le second degré

Que faire si $\Delta <0$Δ < 0 ?

L'équation n'a aucune solution réelle. La parabole ne coupe pas l'axe des abscisses.

Pourquoi la forme canonique ?

Elle donne le sommet directement et permet de lire l'extremum sans calcul supplémentaire.

À quoi sert le second degré dans la vie ?

À modéliser des trajectoires (balle, projectile), des profits (économie), des antennes paraboliques, des modèles physiques.

Comment vérifier des racines trouvées ?

On utilise la somme $x_1+x_2=-b/a$x₁ + x₂ = -b/a et le produit $x_1{x}_2=c/a$x₁ x₂ = c/a.