Polynômes de degré 2 et 3 en Première spé maths

Polynômes de degré 2 et 3 en Première spé : cours complet

Tu étends ton étude des polynômes au-delà du second degré en abordant le troisième degré. Tu apprends à factoriser quand une racine évidente existe, et à étudier la fonction qui en résulte.

Définition d'un polynôme

Un polynôme est une expression de la forme :

$$P(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0$$P(x) = aₙ xⁿ + aₙ₋₁ xⁿ⁻¹ + … + a₁ x + a₀

où $a_n\ne 0$aₙ ≠ 0. Le nombre $n$n est le degré du polynôme.

Degré 2

$$P(x)=a{x}^2+bx+c(a\ne 0)$$P(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0)

Degré 3

$$P(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d(a\ne 0)$$P(x) = ax³ + bx² + cx + d (a ≠ 0)

Racines d'un polynôme

Définition

Une racine de $P$P est un réel $r$r tel que $P(r)=0$P(r) = 0.

Lien avec la factorisation

Si $r$r est racine de $P$P, alors $(x-r)$(x - r) est un facteur de $P$P, c'est-à-dire qu'on peut écrire :

$$P(x)=(x-r)\times Q(x)$$P(x) = (x - r) × Q(x)

où $Q(x)$Q(x) est un polynôme de degré $\mathrm{deg}(P)-1$deg(P) - 1.

Factorisation d'un polynôme de degré 3

Méthode

1. Chercher une racine évidente (souvent $0,\pm 1,\pm 2,\pm 3$0, ± 1, ± 2, ± 3).
2. Factoriser par $(x-r)$(x - r).
3. Identifier le polynôme de degré 2 restant.
4. Étudier celui-ci avec le discriminant.

Exemple

Factoriser $P(x)=x^3-6x^2+11x-6$P(x) = x³ - 6x² + 11x - 6.

Étape 1 : tester $x=1$x = 1 : $1-6+11-6=0$1 - 6 + 11 - 6 = 0 ✓. Donc $1$1 est racine.

Étape 2 : on peut écrire $P(x)=(x-1)(x^2+ax+b)$P(x) = (x - 1)(x² + ax + b).

Étape 3 : par identification ou division, on trouve $a=-5$a = -5, $b=6$b = 6 :

$$P(x)=(x-1)(x^2-5x+6)$$P(x) = (x - 1)(x² - 5x + 6)

Étape 4 : $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) (discriminant $\Delta =1$Δ = 1).

Donc :

$$P(x)=(x-1)(x-2)(x-3)$$P(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)

Les racines sont $1,2,3$1, 2, 3.

Méthode d'identification (alternative)

Pour trouver $a,b$a, b dans $P(x)=(x-r)(x^2+ax+b)$P(x) = (x - r)(x² + ax + b) :

$$P(x)=x^3+a{x}^2+bx-r{x}^2-rax-rb$$P(x) = x³ + ax² + bx - rx² - rax - rb $$=x^3+(a-r)x^2+(b-ra)x-rb$$= x³ + (a - r)x² + (b - ra)x - rb

On identifie avec les coefficients de $P$P.

Signe d'un polynôme

Polynôme de degré 3

Une fois factorisé en produit de facteurs linéaires (ou trinôme du second degré), on étudie le signe par tableau de signes.

Exemple

Signe de $P(x)=(x-1)(x-2)(x-3)$P(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3) :

Variations et étude graphique

Polynôme de degré 3

La courbe peut avoir :

• deux extrema (un maximum local et un minimum local), reliés par une partie monotone ;
• un point d'inflexion (changement de courbure).

L'étude précise des variations utilise la dérivation (vue dans les autres chapitres).

Comportement aux extrémités

• Pour $a>0$a > 0 : $P(x)\to -\infty$P(x) → -∞ quand $x\to -\infty$x → -∞, $P(x)\to +\infty$P(x) → +∞ quand $x\to +\infty$x → +∞.
• Pour $a<0$a < 0 : opposé.

Multiplicité d'une racine

Si $P(x)=(x-r{)}^k\times Q(x)$P(x) = (x - r)^(k) × Q(x) avec $Q(r)\ne 0$Q(r) ≠ 0, on dit que $r$r est une racine de multiplicité $k$k.

• Multiplicité impaire : la courbe traverse l'axe en $x=r$x = r.
• Multiplicité paire : la courbe touche l'axe sans le traverser.

Exemple

$P(x)=(x-2{)}^3$P(x) = (x - 2)³ : $2$2 est racine triple, courbe traverse en $2$2.

$P(x)=(x-1{)}^2(x-3)$P(x) = (x - 1)² (x - 3) : $1$1 racine double (touche), $3$3 racine simple (traverse).

Erreurs fréquentes à éviter

• Oublier de tester $-r$-r quand on cherche des racines évidentes.
• Mauvaise factorisation : vérifier en redéveloppant.
• Inverser le sens du tableau de signes.
• Confondre racine et solution : la racine est de $P$P, la solution est de $P(x)=0$P(x) = 0.

FAQ — Polynômes de degré 2 et 3

Comment trouver une racine évidente ?

On teste $0,\pm 1,\pm 2$0, ± 1, ± 2 et les diviseurs du terme constant ($a_0$a₀) divisés par les diviseurs du coefficient dominant ($a_n$aₙ).

Tout polynôme de degré 3 a-t-il une racine réelle ?

Oui : un polynôme de degré 3 a toujours au moins une racine réelle (à cause du théorème des valeurs intermédiaires).

Combien de racines maximum a un polynôme ?

Au plus autant que son degré (en comptant les multiplicités).

À quoi servent les polynômes de degré 3 ?

Ils modélisent des phénomènes plus complexes que les paraboles : courbes de croissance, calculs économiques, design de routes (clothoïdes), etc.