Question transversaleMathsNSICryptographie et sécurité

Un code secret qui a plus de clés qu'il n'y a de grains de sable sur Terre peut-il être cassé ?

Q: Combien de permutations de 3 lettres ?

$3!=6$ : ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA.

Q: Pourquoi log₂(26!) ≈ 88 ?

$log₂(26!)=ln(26!)/ln2$ et $ln(26!)≈61,3$, donc environ 88,4.

Une substitution de l'alphabet a 26! ≈ 4 × 10²⁶ clés, environ 88 bits : la force brute est impossible. Pourtant, un programme la casse en quelques secondes en comparant les fréquences des lettres, car le chiffrement conserve la structure du texte.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En NSI, nous avons programmé un chiffrement par substitution, où chaque lettre est remplacée par une autre. J'ai calculé le nombre de clés et j'ai été impressionné par sa taille. Pourtant, mon professeur a cassé mon message en quelques minutes. J'ai voulu comprendre pourquoi un nombre de clés gigantesque ne protège pas, et ce qui rend vraiment un chiffrement sûr.

L'enjeu et les notions du programme

Dénombrer les permutations, puis montrer qu'une attaque statistique contourne le dénombrement.

Mathématiques

Permutations, factorielle (terminale)
Ordres de grandeur, logarithme (terminale)
Fréquences, statistiques descriptives (seconde)

Numérique et sciences informatiques

Traitement de données textuelles, dictionnaires de comptage (première)
Chiffrement symétrique (terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction
1 min
On mesure souvent la sécurité d'un chiffrement à son nombre de clés. Problématique : ce nombre suffit-il, ou existe-t-il des attaques qui ne testent pas les clés ?
2. Mathématiques : compter les clés
3,5 min
Une clé de substitution associe à chaque lettre une lettre différente : c'est une permutation des 26 lettres. On a 26 choix pour l'image de A, 25 pour celle de B, et ainsi de suite : $26! \approx 4, 03 \times 1 0^{26}$ 26!≈4,03×10²⁶ clés.
En bits : $lo g_{2} (26!) \approx 88, 4$ log₂(26!)≈88,4. C'est plus que DES (56 bits). À $1 0^{12}$ 10¹² essais par seconde, la force brute prendrait environ $6$ 6 millions d'années. Le nombre de clés est donc largement suffisant… contre la force brute.
Mais ce calcul suppose que l'attaquant n'a pas d'autre méthode que d'essayer.
3. NSI : l'attaque par fréquences
3,5 min
Une substitution remplace toujours la même lettre par la même lettre : les fréquences sont conservées, seulement permutées. En français, E représente environ 17 % des lettres, puis viennent A, S, I, N, T. Un programme compte les lettres du chiffré avec un dictionnaire Python, associe la plus fréquente à E, et ainsi de suite.
On affine ensuite avec les mots courts (« le », « de », « et ») et les lettres doubles. En quelques secondes, le message est lisible. L'attaque coûte de l'ordre du nombre de lettres du texte, et non $26!$ 26!.
Un bon chiffrement moderne doit faire disparaître toute structure : chaque bit du chiffré doit dépendre de tous les bits du message et de la clé.
4. Conclusion
2 min
Un grand nombre de clés est nécessaire mais pas suffisant : la substitution, avec $26!$ 26! clés, tombe face à une analyse statistique parce qu'elle conserve les fréquences. La sécurité se juge contre la meilleure attaque connue, pas contre la force brute. J'ouvre sur le chiffre de Vigenère, conçu pour brouiller les fréquences.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

26! = 26 \times 25 \times \dots \times 1 \approx 4, 03 \times 1 0^{26} \approx 2^{88} 26!=26\times25\times\dots\times1\approx4,03\times10²⁶\approx2⁸⁸ force brute : \frac{4 \times 1 0 ^{26}}{1 0 ^{12} \times 3 , 16 \times 1 0 ^{7}} \approx 1, 3 \times 1 0^{7} ans pour tout tester force brute : 4\times10²⁶/10¹²\times3,16\times10⁷\approx1,3\times10⁷ ans pour tout tester

Conclusion : la réponse à la question

La substitution a plus de clés que DES, mais elle se casse en secondes. Ce paradoxe montre qu'un chiffrement est sûr seulement si aucune propriété du texte clair ne traverse le chiffrement.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Combien de permutations de 3 lettres ?

$3! = 6$ 3!=6 : ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA.

Pourquoi log₂(26!) ≈ 88 ?

$lo g_{2} (26!) = \frac{l n ( 26 !)}{l n 2}$ log₂(26!)=ln(26!)/ln2 et $ln (26!) \approx 61, 3$ ln(26!)≈61,3, donc environ 88,4.

Le chiffre de César est-il une substitution ?

Oui, un cas particulier : un simple décalage, avec seulement 25 clés utiles.

Quelle longueur de texte faut-il pour l'analyse de fréquences ?

Quelques centaines de lettres suffisent en général ; sur un texte très court, les fréquences sont trop variables.

Comment compter les lettres en Python ?

Avec un dictionnaire : pour chaque lettre, on incrémente compte[lettre], en partant de 0.

Les pièges qui coûtent des points

Confondre grand nombre de clés et sécurité.
Oublier que la clé doit être une bijection (pas deux lettres envoyées sur la même).
Croire que l'analyse de fréquences demande de tester des clés.

Revoir les notions

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