Combinatoire et dénombrement en Terminale spé maths

Combinatoire et dénombrement en Terminale spé : cours complet

La combinatoire étudie l'art de compter sans énumérer : nombre de tirages possibles, de classements, de combinaisons. C'est l'outil de base des probabilités et de l'informatique.

Principe multiplicatif

Si une expérience se déroule en $k$k étapes, avec $n_1$n₁ choix à l'étape 1, $n_2$n₂ à l'étape 2, …, $n_k$nₖ à l'étape $k$k, alors le nombre total de résultats est :

$$n_1\times n_2\times \cdots \times n_k$$n₁ × n₂ × … × nₖ

Exemple

Choisir une tenue : $4$4 pantalons, $6$6 chemises, $3$3 paires de chaussures → $4\times 6\times 3=72$4 × 6 × 3 = 72 tenues possibles.

Factorielle

Définition

$$n!=n\times (n-1)\times (n-2)\times \cdots \times 2\times 1$$n! = n × (n-1) × (n-2) × … × 2 × 1

avec convention $0!=1$0! = 1.

Exemples

• $5!=120$5! = 120
• $10!=3628800$10! = 3 628 800

Permutations

Définition

Une permutation d'un ensemble à $n$n éléments est un classement (ordre) des $n$n éléments. Il y a $n!$n! permutations possibles.

Exemple

$5$5 personnes peuvent s'asseoir sur $5$5 chaises de $5!=120$5! = 120 façons.

Arrangements

Définition

Un arrangement de $k$k éléments parmi $n$n est un choix ordonné sans répétition de $k$k éléments distincts.

Nombre

$$A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}=n\times (n-1)\times \cdots \times (n-k+1)$$Aₙ^(k) = n!/((n-k)!) = n × (n-1) × … × (n - k + 1)

Exemple

Choisir un président, un trésorier et un secrétaire parmi $10$10 candidats :

$$A_{10}^3=10\times 9\times 8=720$$A₁₀³ = 10 × 9 × 8 = 720

Combinaisons

Définition

Une combinaison de $k$k éléments parmi $n$n est un choix non ordonné de $k$k éléments distincts.

Nombre (coefficient binomial)

$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)=\frac{n!}{k!(n-k)!}$$C(n, k) = n!/(k!(n-k)!)

Exemple

Choisir $3$3 joueurs dans une équipe de $10$10 :

$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{3}\right)=\frac{10!}{3!\cdot 7!}=120$$C(10, 3) = 10!/(3! · 7!) = 120

Propriétés

$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0}\right)=1;\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n}\right)=1;\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n-k}\right)$$C(n, 0) = 1 ; C(n, n) = 1 ; C(n, k) = C(n, n-k)

Triangle de Pascal

$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{k}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k-1}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$$C(n+1, k) = C(n, k-1) + C(n, k)

Formule du binôme de Newton

$$(a+b{)}^n=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})a^{n-k}{b}^k$$(a + b)ⁿ = Σ_k=0ⁿ C(n, k) a^(n-k) b^(k)

Exemple

$$(a+b{)}^4=a^4+4a^{3}b+6a^2{b}^2+4a{b}^3+b^4$$(a + b)⁴ = a⁴ + 4 a³ b + 6 a² b² + 4 a b³ + b⁴

Application

$$(1+x{)}^n=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})x^k$$(1 + x)ⁿ = Σ_k=0ⁿ C(n, k) x^(k)

$$\sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)=2^n$$Σ_k=0ⁿ C(n, k) = 2ⁿ

Récapitulatif : choix de $k$k éléments parmi $n$n

Erreurs fréquentes à éviter

• Confondre arrangement et combinaison : ordre vs sans ordre.
• Oublier le facteur $k!$k! au dénominateur de $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$C(n, k).
• Mauvais paramètre $n$n ou $k$k : bien identifier le total et le choix.
• Calculatrice : utiliser les touches nCr (combinaisons) et nPr (arrangements).

FAQ — Combinatoire et dénombrement

Comment savoir s'il faut compter avec ou sans ordre ?

Si changer l'ordre des éléments donne un résultat différent, c'est avec ordre (arrangements).

À quoi sert le triangle de Pascal ?

À calculer rapidement les $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$C(n, k) sans faire la factorielle.

Que représente $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$C(n, k) géométriquement ?

Le nombre de chemins dans un quadrillage qui descendent $k$k fois sur $n$n pas.

À quoi sert la combinatoire ?

À toutes les probabilités, à l'informatique (complexité), à la cryptographie, à la biologie (ADN), à la finance…