Question transversaleMathsPhysique-chimieCinétique chimique

Comment déterminer, à partir de mesures, la loi de vitesse d'une réaction ?

Q: Vérifiez que 1/[A] = 1/c₀ + kt est solution de l'ordre 2.

$[A]=1/(1/c₀+kt)$, donc $[A]'=-k/((1/c₀+kt)²)=-k[A]²$.

Q: Une réaction d'ordre 0, à quoi ressemble-t-elle ?

$[A]'=-k$ : $[A]=c₀-kt$ décroît linéairement jusqu'à 0, en un temps fini $c₀/k$.

Si ln[A] est une fonction affine du temps, la réaction est d'ordre 1 (v = k[A]) et son temps de demi-réaction ne dépend pas de la concentration initiale ; si c'est 1/[A], elle est d'ordre 2. La linéarisation transforme la question en test d'alignement.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En TP, nous avons suivi la concentration d'un colorant qui se décolorait. Le professeur nous a demandé si la réaction était « d'ordre 1 ». Je ne savais pas comment le prouver avec quelques points de mesure. J'ai découvert qu'il suffit de tracer la bonne fonction des concentrations pour obtenir une droite. J'ai voulu comprendre pourquoi, en résolvant les équations différentielles correspondantes.

L'enjeu et les notions du programme

Résoudre les équations différentielles d'une loi de vitesse et utiliser des changements de variable pour tester un modèle.

Mathématiques

Équation différentielle y' = ay (terminale)
Dérivée de $\frac{1}{u}$ 1/u et de $ln u$ ln u (première, terminale)
Fonctions affines, alignement de points (seconde)

Physique-chimie

Loi de vitesse d'ordre 1 (terminale)
Temps de demi-réaction (terminale)
Exploitation de mesures (terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction
1 min
Une loi de vitesse relie la vitesse à la concentration : $v = k [A]$ v=k[A] (ordre 1) ou $v = k [A]^{2}$ v=k[A]² (ordre 2). Problématique : comment savoir laquelle convient à partir d'un tableau de mesures ?
2. Ordre 1 : le logarithme
3,5 min
Ordre 1 : $[A]^{'} = - k [A]$ [A]'=-k[A], donc $[A] (t) = c_{0} e^{- k t}$ [A](t)=c₀e^(-kt) et $ln [A] = ln c_{0} - k t$ ln[A]=ln c₀-kt. Les points $(t; ln [A])$ (t;ln[A]) sont alignés sur une droite de pente $- k$ -k.
Signature supplémentaire : le temps de demi-réaction $t_{1/2} = \frac{l n 2}{k}$ t_1/2=ln2/k ne dépend pas de $c_{0}$ c₀. Sur la courbe, la concentration passe de $c_{0}$ c₀ à $\frac{c _{0}}{2}$ c₀/2, puis à $\frac{c _{0}}{4}$ c₀/4, en des durées égales. C'est un test rapide sur une simple courbe.
3. Ordre 2 : l'inverse
3,5 min
Ordre 2 : $[A]^{'} = - k [A]^{2}$ [A]'=-k[A]². Posons $y = \frac{1}{[ A ]}$ y=1/[A] : $y^{'} = - \frac{[ A ] ^{'}}{[ A ] ^{2}} = k$ y'=-[A]'/[A]²=k. Donc $\frac{1}{[ A ]} = \frac{1}{c _{0}} + k t$ 1/[A]=1/c₀+kt : les points $(t; \frac{1}{[ A ]})$ (t;1/[A]) sont alignés, de pente $k$ k.
Le temps de demi-réaction vaut alors $\frac{1}{k c _{0}}$ 1/kc₀ : il double quand on divise $c_{0}$ c₀ par 2, et chaque demi-vie successive est deux fois plus longue que la précédente.
Méthode : on calcule $ln [A]$ ln[A] et $\frac{1}{[ A ]}$ 1/[A] pour chaque mesure, on trace les deux nuages ; celui qui est aligné indique l'ordre, et la pente donne $k$ k.
4. Conclusion
2 min
On détermine l'ordre d'une réaction en cherchant la transformation qui rend les mesures alignées : $ln [A]$ ln[A] pour l'ordre 1, $\frac{1}{[ A ]}$ 1/[A] pour l'ordre 2. Les mathématiques transforment une question de chimie en test d'alignement. J'ouvre sur la méthode de dégénérescence de l'ordre, qui permet d'étudier un réactif à la fois en mettant l'autre en large excès.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

ordre 1 : [A]^{'} = - k [A] \Rightarrow ln [A] = ln c_{0} - k t, t_{1/2} = \frac{ln 2}{k} ordre 1 : [A]'=-k[A] \Rightarrow ln[A]=ln c₀-kt, t_1/2=ln2/k ordre 2 : [A]^{'} = - k [A]^{2} \Rightarrow \frac{1}{[ A ]} = \frac{1}{c _{0}} + k t, t_{1/2} = \frac{1}{k c _{0}} ordre 2 : [A]'=-k[A]² \Rightarrow 1/[A]=1/c₀+kt, t_1/2=1/(k c₀) (\frac{1}{[ A ]})^{'} = - \frac{[ A ] ^{'}}{[ A ] ^{2}} (1/[A])'=-[A]'/[A]²

Conclusion : la réponse à la question

La loi de vitesse se reconnaît à la fonction de la concentration qui varie linéairement avec le temps : le logarithme pour l'ordre 1, l'inverse pour l'ordre 2. Le temps de demi-réaction, constant ou non, confirme le diagnostic.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Vérifiez que 1/[A] = 1/c₀ + kt est solution de l'ordre 2.

$[A] = \frac{1}{1/ c _{0} + k t}$ [A]=1/(1/c₀+kt), donc $[A]^{'} = - \frac{k}{( 1/ c _{0} + k t ) ^{2}} = - k [A]^{2}$ [A]'=-k/((1/c₀+kt)²)=-k[A]².

Une réaction d'ordre 0, à quoi ressemble-t-elle ?

$[A]^{'} = - k$ [A]'=-k : $[A] = c_{0} - k t$ [A]=c₀-kt décroît linéairement jusqu'à 0, en un temps fini $\frac{c _{0}}{k}$ c₀/k.

Si t½ vaut 20 s puis 40 s puis 80 s, quel ordre ?

Ordre 2 : chaque demi-vie double, car elle est inversement proportionnelle à la concentration au début de la période.

Pourquoi l'ordre n'est-il pas forcément le coefficient de l'équation ?

La loi de vitesse dépend du mécanisme (succession d'actes élémentaires), pas seulement de l'équation bilan : elle se détermine expérimentalement.

Comment obtenir k à partir de la droite ln[A] = f(t) ?

C'est l'opposé de son coefficient directeur.

Les pièges qui coûtent des points

Tracer ln[A] en fonction de ln t.
Conclure à l'ordre 1 sur deux points seulement.
Confondre ordre de la réaction et coefficient stœchiométrique.

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