Question transversaleMathsPhysique-chimieCinétique chimique

Comment évolue le taux d'alcool dans le sang après un verre, et quand peut-on reprendre le volant ?

Q: Pourquoi l'équation a-t-elle aussi une solution avant 1 h ?

Sur $[0;1]$, $f$ croît de 0 à 0,74 : elle passe par 0,5 une fois, vers $t≈0,36$ h (l'alcoolémie dépasse le seuil environ 20 min après le verre).

Q: Quand l'alcoolémie passe-t-elle sous 0,2 g/L ?

Par la même méthode, vers $t≈3,6$ h.

Q: Combien d'étapes de dichotomie pour une précision de 1 minute à partir de [2 ; 2,5] ?

Il faut $0,5/2ⁿ≤1/60$, soit $2ⁿ≥30$ : 5 étapes.

Q: Justifiez te⁽−t) → 0 en +∞.

$te^(-t)=t/e^(t)$, et $e^(t)/t→+∞$ par croissances comparées.

Dans le modèle f(t) = 2t e^(−t), l'alcoolémie monte jusqu'à 2/e ≈ 0,74 g/L au bout d'une heure, puis redescend ; le théorème des valeurs intermédiaires et une dichotomie montrent qu'elle repasse sous 0,5 g/L vers 2 h 09.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En préparant le permis, j'ai appris qu'il faut attendre avant de conduire après avoir bu, mais sans comprendre la forme de l'évolution : le taux monte d'abord, puis descend. J'ai trouvé un modèle utilisé en pharmacologie, une fonction de la forme $t e^{- t}$ t e^(-t), dont l'étude mobilise presque tout le programme d'analyse de terminale.

L'enjeu et les notions du programme

Étudier une fonction produit d'un polynôme et d'une exponentielle, et résoudre numériquement une équation par le théorème des valeurs intermédiaires.

Mathématiques

Dérivée d'un produit, variations, maximum (première)
Croissances comparées : te^(−t) → 0 (terminale)
Théorème des valeurs intermédiaires, dichotomie (terminale)

Physique-chimie

Vitesse d'apparition et de disparition d'une espèce (terminale)
Modélisation d'une évolution temporelle (terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction
1 min
Après une prise d'alcool, celui-ci passe dans le sang (absorption), puis il est éliminé par le foie. Problématique : comment le modéliser, et quand l'alcoolémie repasse-t-elle sous le seuil légal de 0,5 g/L ?
2. Le modèle et ses variations
3,5 min
On modélise l'alcoolémie par $f (t) = 2 t e^{- t}$ f(t)=2te^(-t) (g/L, $t$ t en heures) : le facteur $t$ t traduit l'absorption, le facteur $e^{- t}$ e^(-t) l'élimination. $f^{'} (t) = 2 e^{- t} - 2 t e^{- t} = 2 (1 - t) e^{- t}$ f'(t)=2e^(-t)-2te^(-t)=2(1-t)e^(-t), du signe de $1 - t$ 1-t.
La fonction croît sur $[0; 1]$ [0;1] et décroît ensuite : le maximum est atteint au bout d'une heure et vaut $f (1) = \frac{2}{e} \approx 0, 74$ f(1)=2/e≈0,74 g/L. En $+ \infty$ +∞, $t e^{- t} \to 0$ te^(-t)→0 par croissances comparées : l'alcool finit par être éliminé.
3. Quand repasser sous 0,5 g/L ?
3,5 min
L'équation $2 t e^{- t} = 0, 5$ 2te^(-t)=0,5 ne se résout pas avec les fonctions usuelles. Sur $[1; + \infty [$ [1;+∞[, $f$ f est continue, strictement décroissante, de $0, 74$ 0,74 à des valeurs proches de 0 : d'après le théorème des valeurs intermédiaires (corollaire de la bijection), l'équation a une unique solution $α$ α.
Encadrement : $f (2) = 4 e^{- 2} \approx 0, 54$ f(2)=4e⁻²≈0,54 et $f (2, 5) \approx 0, 41$ f(2,5)≈0,41, donc $α \in [2; 2, 5]$ α∈[2;2,5]. Par dichotomie : $f (2, 2) \approx 0, 49$ f(2,2)≈0,49 donc $α < 2, 2$ α<2,2 ; $f (2, 1) \approx 0, 51$ f(2,1)≈0,51 donc $α > 2, 1$ α>2,1. On obtient $α \approx 2, 15$ α≈2,15 h, soit environ 2 h 09.
Avertissement : ce modèle est simplifié. En réalité, l'élimination de l'alcool est plutôt à vitesse constante (environ 0,10 à 0,15 g/L par heure), et les valeurs dépendent de la personne, du repas et de la boisson. On ne calcule pas son alcoolémie pour décider de conduire.
4. Conclusion
2 min
Dans le modèle $2 t e^{- t}$ 2te^(-t), l'alcoolémie monte pendant une heure jusqu'à $\frac{2}{e}$ 2/e g/L puis décroît, et repasse sous 0,5 g/L après environ 2 h 09, valeur obtenue par le théorème des valeurs intermédiaires et une dichotomie. J'ouvre sur les modèles pharmacocinétiques des médicaments, de la même forme.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

f (t) = 2 t e^{- t} f^{'} (t) = 2 (1 - t) e^{- t} f (1) = \frac{2}{e} \approx 0, 74 f(t)=2t e^(-t) f'(t)=2(1-t) e^(-t) f(1)=2/e\approx0,74 f (2) \approx 0, 54 > 0, 5 > f (2, 5) \approx 0, 41 f(2)\approx0,54>0,5>f(2,5)\approx0,41 f (2, 1) \approx 0, 51, f (2, 2) \approx 0, 49 \Rightarrow α \approx 2, 15 h f(2,1)\approx0,51, f(2,2)\approx0,49 \Rightarrow α\approx2,15 h

Conclusion : la réponse à la question

L'alcoolémie modélisée par $2 t e^{- t}$ 2te^(-t) atteint un maximum de $\frac{2}{e} \approx 0, 74$ 2/e≈0,74 g/L après une heure, puis repasse sous 0,5 g/L vers 2 h 09. Le modèle illustre le théorème des valeurs intermédiaires, mais ne remplace pas la prudence : en cas de doute, on ne conduit pas.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Pourquoi l'équation a-t-elle aussi une solution avant 1 h ?

Sur $[0; 1]$ [0;1], $f$ f croît de 0 à 0,74 : elle passe par 0,5 une fois, vers $t \approx 0, 36$ t≈0,36 h (l'alcoolémie dépasse le seuil environ 20 min après le verre).

Quand l'alcoolémie passe-t-elle sous 0,2 g/L ?

Par la même méthode, vers $t \approx 3, 6$ t≈3,6 h.

Combien d'étapes de dichotomie pour une précision de 1 minute à partir de [2 ; 2,5] ?

Il faut $\frac{0 , 5}{2 ^{n}} \leq \frac{1}{60}$ 0,5/2ⁿ≤1/60, soit $2^{n} \geq 30$ 2ⁿ≥30 : 5 étapes.

Que représenterait un modèle d'élimination d'ordre 0 ?

Une décroissance linéaire : une vitesse d'élimination constante, car les enzymes du foie sont saturées.

Justifiez te^(−t) → 0 en +∞.

$t e^{- t} = \frac{t}{e ^{t}}$ te^(-t)=t/e^(t), et $\frac{e ^{t}}{t} \to + \infty$ e^(t)/t→+∞ par croissances comparées.

Les pièges qui coûtent des points

Oublier la dérivée du produit.
Affirmer l'existence d'une solution sans invoquer continuité et monotonie.
Présenter le modèle comme un outil pour décider de conduire.

Revoir les notions

Autres questions : cinétique chimique

Toutes les questions maths-physique-chimie →

Préparer l'oral, pas seulement le contenu

Gestion des 20 minutes de préparation, usage du tableau, posture debout, réponses au jury : la méthode complète, conforme aux règles de la session 2027.

Méthode : traiter une question de Grand oral →

Continuer la préparation

Le Grand oral 2027 →Méthode : traiter une question →Toutes les questions, par combinaison →Questions de maths seules →Questions maths-SES →Questions maths-SVT →Questions maths-NSI →Questions maths-SI →Questions maths-HGGSP →Questions maths-anglais →