Question transversaleMathsPhysique-chimieCinétique chimique

Dans une réaction en deux étapes, quand l'intermédiaire est-il le plus abondant ?

Pour A → B → C avec k₁ = 1 et k₂ = 2 (en min⁻¹), la concentration de l'intermédiaire vaut [B] = c₀(e^(−t) − e^(−2t)) ; la dérivée s'annule en t = ln 2 ≈ 0,69 min, où [B] atteint c₀/4.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En apprenant les mécanismes réactionnels, j'ai découvert les intermédiaires : des espèces qui apparaissent puis disparaissent sans figurer dans l'équation bilan. Dans l'industrie, c'est parfois l'intermédiaire que l'on veut récupérer. Je me suis demandé à quel moment il fallait arrêter la réaction pour en avoir le plus : c'est un problème de maximum.

L'enjeu et les notions du programme

Étudier une différence d'exponentielles, trouver son maximum par la dérivée et l'interpréter dans un mécanisme réactionnel.

Mathématiques

Dérivation de fonctions exponentielles composées (terminale)
Équation e^(−t) = 2e^(−2t), logarithme (terminale)
Étude de variations, maximum (première)

Physique-chimie

Mécanisme réactionnel, actes élémentaires, intermédiaire (terminale)
Loi de vitesse d'ordre 1 (terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction
1 min
On considère deux étapes d'ordre 1 : $A \to B$ A→ B (constante $k_{1}$ k₁) puis $B \to C$ B→ C (constante $k_{2}$ k₂). Problématique : comment évolue la concentration de l'intermédiaire $B$ B, et quand est-elle maximale ?
2. Les équations
3 min
$[A]^{'} = - k_{1} [A]$ [A]'=-k₁[A], donc $[A] = c_{0} e^{- k_{1} t}$ [A]=c₀e^(-k₁t). $B$ B est produit par la première étape et consommé par la seconde : $[B]^{'} = k_{1} [A] - k_{2} [B]$ [B]'=k₁[A]-k₂[B]. Avec $k_{1} = 1$ k₁=1 et $k_{2} = 2$ k₂=2 (en min⁻¹) et $[B] (0) = 0$ [B](0)=0, on vérifie que $[B] (t) = c_{0} (e^{- t} - e^{- 2 t})$ [B](t)=c₀(e^(-t)-e^(-2t)) convient : $[B]^{'} = c_{0} (- e^{- t} + 2 e^{- 2 t})$ [B]'=c₀(-e^(-t)+2e^(-2t)) et $k_{1} [A] - k_{2} [B] = c_{0} e^{- t} - 2 c_{0} (e^{- t} - e^{- 2 t}) = c_{0} (- e^{- t} + 2 e^{- 2 t})$ k₁[A]-k₂[B]=c₀e^(-t)-2c₀(e^(-t)-e^(-2t))=c₀(-e^(-t)+2e^(-2t)).
Enfin $[C] = c_{0} - [A] - [B]$ [C]=c₀-[A]-[B], par conservation de la matière.
3. Mathématiques : le maximum
4 min
$[B]^{'} (t) = c_{0} e^{- t} (2 e^{- t} - 1)$ [B]'(t)=c₀e^(-t)(2e^(-t)-1). Elle s'annule quand $e^{- t} = \frac{1}{2}$ e^(-t)=1/2, soit $t_{m} = ln 2 \approx 0, 69$ t_m=ln2≈0,69 min ; elle est positive avant, négative après. $[B]$ [B] croît puis décroît : le maximum vaut $c_{0} (\frac{1}{2} - \frac{1}{4}) = \frac{c _{0}}{4}$ c₀(1/2-1/4)=c₀/4.
Interprétation : au début, $B$ B se forme vite et n'est presque pas consommé ; à mesure que $A$ A s'épuise et que $B$ B s'accumule, la consommation l'emporte. Au maximum, les deux vitesses sont égales : $k_{1} [A] = k_{2} [B]$ k₁[A]=k₂[B].
Si l'on veut récupérer $B$ B, il faut arrêter la réaction (par trempe, en refroidissant brutalement) vers $t = 0, 69$ t=0,69 min : on en obtient alors 25 % de la quantité initiale de $A$ A. Plus $k_{2}$ k₂ est grand devant $k_{1}$ k₁, plus le maximum est faible : l'intermédiaire est alors fugace.
4. Conclusion
2 min
L'intermédiaire est le plus abondant quand sa vitesse de formation égale sa vitesse de consommation : ici en $t = ln 2$ t=ln2, où il atteint le quart de la concentration initiale. L'étude d'une différence d'exponentielles répond à une question industrielle. J'ouvre sur la notion d'étape cinétiquement déterminante : la plus lente impose son rythme.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

[A] = c_{0} e^{- t}, [B]^{'} = k_{1} [A] - k_{2} [B], [B] = c_{0} (e^{- t} - e^{- 2 t}) [A]=c₀e^(-t), [B]'=k₁[A]-k₂[B], [B]=c₀(e^(-t)-e^(-2t)) [B]^{'} (t) = c_{0} e^{- t} (2 e^{- t} - 1) = 0 ⟺ t = ln 2 [B]'(t)=c₀e^(-t)(2e^(-t)-1)=0\Leftrightarrow t=ln2 [B] (ln 2) = c_{0} (\frac{1}{2} - \frac{1}{4}) = \frac{c _{0}}{4} [B](ln2)=c₀(1/2-1/4)=c₀/4

Conclusion : la réponse à la question

Dans un mécanisme $A \to B \to C$ A→ B→ C, l'intermédiaire passe par un maximum quand sa formation et sa consommation s'équilibrent ; avec $k_{1} = 1$ k₁=1 et $k_{2} = 2$ k₂=2, c'est en $t = ln 2$ t=ln2, à $\frac{c _{0}}{4}$ c₀/4. La dérivée d'une différence d'exponentielles donne l'instant optimal pour arrêter la réaction.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Que vaut [C] au cours du temps ?

$[C] = c_{0} - c_{0} e^{- t} - c_{0} (e^{- t} - e^{- 2 t}) = c_{0} (1 - 2 e^{- t} + e^{- 2 t}) = c_{0} (1 - e^{- t})^{2}$ [C]=c₀-c₀e^(-t)-c₀(e^(-t)-e^(-2t))=c₀(1-2e^(-t)+e^(-2t))=c₀(1-e^(-t))².

Pourquoi la courbe de [C] démarre-t-elle avec une tangente horizontale ?

Au début, il n'y a pas encore de $B$ B à transformer : $[C]^{'} (0) = k_{2} [B] (0) = 0$ [C]'(0)=k₂[B](0)=0.

Que représente l'égalité k₁[A] = k₂[B] au maximum ?

$[B]^{'} = 0$ [B]'=0 : autant de $B$ B se forme qu'il en disparaît par unité de temps.

Que se passe-t-il si k₁ = k₂ ?

La formule donnée n'est plus valable (division par $k_{2} - k_{1}$ k₂-k₁ dans le cas général) ; on trouve alors $[B] = c_{0} k t e^{- k t}$ [B]=c₀kte^(-kt), maximale en $t = \frac{1}{k}$ t=1/k, à $\frac{c _{0}}{e}$ c₀/e.

Donnez la formule générale de [B].

$[B] = \frac{k _{1} c _{0}}{k _{2} - k _{1}} (e^{- k_{1} t} - e^{- k_{2} t})$ [B]=k₁c₀/(k₂-k₁)(e^(-k₁t)-e^(-k₂t)) pour $k_{1} \neq = k_{2}$ k₁≠ k₂ ; avec $k_{1} = 1$ k₁=1 et $k_{2} = 2$ k₂=2, on retrouve $c_{0} (e^{- t} - e^{- 2 t})$ c₀(e^(-t)-e^(-2t)).

Qu'est-ce qu'une trempe ?

Un refroidissement brutal (ou une forte dilution) qui ralentit fortement les réactions pour figer la composition.

Si k₂ est très grand, que devient [B] ?

Il reste très faible : chaque B formé est aussitôt consommé (approximation de l'état quasi stationnaire).

Les pièges qui coûtent des points

Oublier la dérivée de $e^{- 2 t}$ e^(-2t) (facteur $- 2$ -2).
Confondre l'intermédiaire avec un réactif ou un produit du bilan.
Croire que l'intermédiaire s'accumule jusqu'à la fin.

Revoir les notions

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