Question transversaleMathsPhysique-chimieCinétique chimique

Pourquoi la quantité d'un médicament pris régulièrement se stabilise-t-elle dans le corps ?

Si le corps élimine 75 % du médicament entre deux prises, la quantité juste après chaque prise suit uₙ₊₁ = 0,25uₙ + D, suite arithmético-géométrique qui converge vers 4D/3 : l'équilibre est atteint en quelques prises.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Quand on m'a prescrit un antibiotique « toutes les 8 heures pendant 7 jours », je me suis demandé pourquoi il fallait respecter un rythme aussi précis, et si le médicament ne s'accumulait pas dans le corps. En étudiant les suites, j'ai découvert un modèle simple qui montre que la quantité se stabilise. J'ai voulu en comprendre le mécanisme.

L'enjeu et les notions du programme

Modéliser une élimination d'ordre 1 entre deux prises par une suite arithmético-géométrique, et étudier sa limite.

Mathématiques

Suites arithmético-géométriques, suite auxiliaire (première, terminale)
Limite d'une suite géométrique (terminale)
Raisonnement par récurrence (terminale)

Physique-chimie

Loi de vitesse d'ordre 1, temps de demi-réaction (terminale)
Décroissance exponentielle (terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction
1 min
Un patient prend une dose $D$ D toutes les 8 heures. Le médicament est éliminé selon une loi d'ordre 1, de demi-vie 4 heures. Problématique : la quantité s'accumule-t-elle indéfiniment ?
2. Physique-chimie : l'élimination entre deux prises
2,5 min
Une élimination d'ordre 1 suit $q (t) = q_{0} e^{- k t}$ q(t)=q₀e^(-kt). En 8 heures, soit deux demi-vies, la quantité est divisée par 4 : il reste 25 % de la quantité présente juste après la prise précédente.
Si $u_{n}$ uₙ est la quantité juste après la $n$ n-ième prise, alors $u_{n + 1} = 0, 25 u_{n} + D$ uₙ₊₁=0,25 uₙ+D, avec $u_{1} = D$ u₁=D.
3. Mathématiques : la suite et sa limite
4,5 min
Premiers termes : $D$ D, $1, 25 D$ 1,25D, $1, 3125 D$ 1,3125D, $1, 328 D$ 1,328D… La suite augmente, mais de moins en moins.
On cherche le point fixe $ℓ = 0, 25 ℓ + D$ ℓ=0,25ℓ+D, soit $ℓ = \frac{4 D}{3}$ ℓ=4D/3. La suite auxiliaire $v_{n} = u_{n} - ℓ$ vₙ=uₙ-ℓ vérifie $v_{n + 1} = 0, 25 v_{n}$ vₙ₊₁=0,25 vₙ : elle est géométrique de raison $0, 25$ 0,25, avec $v_{1} = D - \frac{4 D}{3} = - \frac{D}{3}$ v₁=D-4D/3=-D/3. Donc $u_{n} = \frac{4 D}{3} - \frac{D}{3} \times 0, 2 5^{n - 1}$ uₙ=4D/3-D/3×0,25^(n-1).
Comme $0 < 0, 25 < 1$ 0<0,25<1, $0, 2 5^{n - 1} \to 0$ 0,25^(n-1)→0 : $u_{n} \to \frac{4 D}{3}$ uₙ→4D/3. Après 4 prises, l'écart à la limite est inférieur à 0,5 % : l'équilibre est pratiquement atteint en un peu plus d'une journée. Le corps contient alors, juste après une prise, $\frac{4}{3} D$ 4/3D, et juste avant la suivante, $\frac{1}{3} D$ 1/3D.
Le rythme compte : prendre les doses toutes les 4 h (une demi-vie) donnerait une limite de $2 D$ 2D ; les espacer trop fait chuter la concentration sous le seuil d'efficacité.
4. Conclusion
2 min
La quantité de médicament se stabilise parce que l'élimination est proportionnelle à la quantité présente : la suite $u_{n + 1} = 0, 25 u_{n} + D$ uₙ₊₁=0,25uₙ+D converge vers $\frac{4 D}{3}$ 4D/3. Le rythme des prises fixe le niveau d'équilibre. J'ouvre sur la « dose de charge », une première prise plus forte qui atteint l'équilibre immédiatement.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

u_{n + 1} = 0, 25 u_{n} + D, u_{1} = D ℓ = 0, 25 ℓ + D ⟺ ℓ = \frac{4 D}{3} uₙ₊₁=0,25 uₙ+D, u₁=D ℓ=0,25 ℓ+D\Leftrightarrowℓ=4D/3 v_{n} = u_{n} - \frac{4 D}{3}, v_{n + 1} = 0, 25 v_{n} \Rightarrow u_{n} = \frac{4 D}{3} - \frac{D}{3} \times 0, 2 5^{n - 1} vₙ=uₙ-4D/3, vₙ₊₁=0,25 vₙ \Rightarrow uₙ=4D/3-D/3\times0,25^(n-1) D, 1, 25 D, 1, 3125 D, 1, 328 D ⟶ \frac{4}{3} D D, 1,25D, 1,3125D, 1,328D longrightarrow 4/3D

Conclusion : la réponse à la question

Un médicament pris régulièrement ne s'accumule pas sans limite : la quantité suit une suite arithmético-géométrique qui converge vers $\frac{4 D}{3}$ 4D/3 pour une prise toutes les deux demi-vies. L'équilibre est atteint en quelques prises.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Démontrez par récurrence que uₙ < 4D/3.

Vrai pour $u_{1} = D$ u₁=D. Si $u_{n} < \frac{4 D}{3}$ uₙ<4D/3, alors $u_{n + 1} = 0, 25 u_{n} + D < \frac{D}{3} + D = \frac{4 D}{3}$ uₙ₊₁=0,25uₙ+D<D/3+D=4D/3.

Quelle dose de charge atteint directement l'équilibre ?

Une première prise de $\frac{4 D}{3}$ 4D/3 : la suite est alors constante.

Que se passe-t-il avec une prise toutes les 4 h ?

Il reste 50 % : $u_{n + 1} = 0, 5 u_{n} + D$ uₙ₊₁=0,5uₙ+D, limite $2 D$ 2D.

Pourquoi ne pas doubler la dose si l'on oublie une prise ?

On ajouterait $2 D$ 2D à une quantité résiduelle : le pic dépasserait l'équilibre $\frac{4}{3} D$ 4/3D et pourrait atteindre une zone toxique. La suite montre qu'on revient à l'équilibre en quelques prises normales.

Pourquoi l'élimination est-elle d'ordre 1 ?

Pour beaucoup de médicaments, la vitesse d'élimination est proportionnelle à la concentration (filtration rénale, métabolisme non saturé).

En combien de prises l'écart à la limite passe-t-il sous 1 % ?

$\frac{1}{3} \times 0, 2 5^{n - 1} < 0, 01 \times \frac{4}{3}$ 1/3×0,25^(n-1)<0,01×4/3 : $0, 2 5^{n - 1} < 0, 04$ 0,25^(n-1)<0,04, soit $n - 1 \geq 3$ n-1≥3, donc $n = 4$ n=4.

Les pièges qui coûtent des points

Oublier la dose ajoutée et écrire une suite géométrique.
Croire que la quantité augmente indéfiniment parce que la suite est croissante.
Confondre quantité juste avant et juste après la prise.

Revoir les notions

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