Question transversaleMathsPhysique-chimieCinétique chimique

Pourquoi certaines réactions s'arrêtent-elles avant que les réactifs soient épuisés ?

Q: Vérifiez que la solution vaut c₀ en t = 0.

$k₂c₀/(k₁+k₂)+k₁c₀/(k₁+k₂)=c₀$.

Q: Que se passe-t-il si k₂ = 0 ?

La réaction est totale : $[A]=c₀e^(-k₁t)→0$.

Q: Au bout de combien de temps l'écart à l'équilibre est-il divisé par 2 ?

L'écart vaut $k₁c₀/(k₁+k₂)e^(-(k₁+k₂)t)$ : il est divisé par 2 en $ln2/(k₁+k₂)≈17$ s dans l'exemple.

Q: Un catalyseur change-t-il K ?

Non : il multiplie $k₁$ et $k₂$ par le même facteur, donc $k₁/k₂$ ne change pas ; seul le temps caractéristique diminue.

Q: Quel est le taux d'avancement final en fonction de K ?

$τ=([B]_ éq)/c₀=k₁/(k₁+k₂)=K/(1+K)$, soit $3/4$ pour $K=3$.

Pour A ⇌ B avec des vitesses k₁[A] et k₂[B], la concentration vérifie [A]' = −(k₁ + k₂)[A] + k₂c₀, équation y' = ay + b dont la solution tend vers k₂c₀/(k₁ + k₂) : l'équilibre est dynamique, et K = k₁/k₂.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En chimie, j'ai découvert que certaines réactions ne vont pas jusqu'au bout : à la fin, il reste des réactifs, alors que rien ne semble les empêcher de réagir. Le professeur a parlé d'un « équilibre dynamique », où les réactions continuent dans les deux sens. J'ai voulu montrer, avec une équation différentielle du programme, comment cet équilibre apparaît.

L'enjeu et les notions du programme

Modéliser une réaction réversible par une équation y' = ay + b et relier sa solution d'équilibre à la constante d'équilibre.

Mathématiques

Équations différentielles y' = ay + b, solution particulière constante (terminale)
Limite de l'exponentielle (terminale)

Physique-chimie

Transformation non totale, état d'équilibre, taux d'avancement final (terminale)
Quotient de réaction, constante d'équilibre K (terminale)
Loi de vitesse d'ordre 1 (terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction
1 min
On considère une transformation $A ⇌ B$ Arightleftharpoons B, possible dans les deux sens, avec au départ $[A] = c_{0}$ [A]=c₀ et $[B] = 0$ [B]=0. Problématique : pourquoi la transformation s'arrête-t-elle avant que $A$ A soit épuisé ?
2. Physique-chimie : deux réactions simultanées
3 min
La réaction directe $A \to B$ A→ B a une vitesse $k_{1} [A]$ k₁[A] ; la réaction inverse $B \to A$ B→ A, une vitesse $k_{2} [B]$ k₂[B]. La variation de $[A]$ [A] est la différence : $[A]^{'} = - k_{1} [A] + k_{2} [B]$ [A]'=-k₁[A]+k₂[B]. Par conservation, $[B] = c_{0} - [A]$ [B]=c₀-[A].
D'où $[A]^{'} = - (k_{1} + k_{2}) [A] + k_{2} c_{0}$ [A]'=-(k₁+k₂)[A]+k₂c₀. Au début, $B$ B est absent et seule la réaction directe agit ; plus $B$ B s'accumule, plus la réaction inverse compense.
3. Mathématiques : résolution
4 min
C'est une équation $y^{'} = a y + b$ y'=ay+b avec $a = - (k_{1} + k_{2})$ a=-(k₁+k₂) et $b = k_{2} c_{0}$ b=k₂c₀. La solution constante est $- \frac{b}{a} = \frac{k _{2} c _{0}}{k _{1} + k _{2}}$ -b/a=k₂c₀/(k₁+k₂). Avec $[A] (0) = c_{0}$ [A](0)=c₀ :
$[A] (t) = \frac{k _{2} c _{0}}{k _{1} + k _{2}} + \frac{k _{1} c _{0}}{k _{1} + k _{2}} e^{- (k_{1} + k_{2}) t}$ [A](t)=k₂c₀/(k₁+k₂)+k₁c₀/(k₁+k₂)e^(-(k₁+k₂)t).
Quand $t \to + \infty$ t→+∞, $[A] \to [A]_{\overset{e}{ˊ} q} = \frac{k _{2} c _{0}}{k _{1} + k _{2}}$ [A]→[A]_ éq =k₂c₀/(k₁+k₂) et $[B] \to \frac{k _{1} c _{0}}{k _{1} + k _{2}}$ [B]tok₁c₀/(k₁+k₂). À l'équilibre, $\frac{[ B ] _{\overset{e}{ˊ} q}}{[ A ] _{\overset{e}{ˊ} q}} = \frac{k _{1}}{k _{2}} = K$ ([B]_ éq)/([A]_ éq)=k₁/k₂=K : la constante d'équilibre est le rapport des constantes de vitesse.
Exemple : $k_{1} = 0, 03$ k₁=0,03 s⁻¹, $k_{2} = 0, 01$ k₂=0,01 s⁻¹, $c_{0} = 0, 1$ c₀=0,1 mol/L : $[A]_{\overset{e}{ˊ} q} = 0, 025$ [A]_ éq =0,025 mol/L, $K = 3$ K=3, taux d'avancement final 75 %. L'équilibre est approché avec un temps caractéristique $\frac{1}{k _{1} + k _{2}} = 25$ 1/(k₁+k₂)=25 s. Les deux réactions continuent, à vitesses égales : l'équilibre est dynamique.
4. Conclusion
2 min
Une réaction s'arrête avant l'épuisement des réactifs quand la réaction inverse compense exactement la réaction directe : la solution de l'équation $y^{'} = a y + b$ y'=ay+b tend vers un équilibre où $\frac{[ B ]}{[ A ]} = \frac{k _{1}}{k _{2}} = K$ [B]/[A]=k₁/k₂=K. J'ouvre sur le principe de Le Chatelier : retirer $B$ B relance la réaction directe.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

[A]^{'} = - k_{1} [A] + k_{2} [B] = - (k_{1} + k_{2}) [A] + k_{2} c_{0} [A]'=-k₁[A]+k₂[B]=-(k₁+k₂)[A]+k₂c₀ [A] (t) = \frac{k _{2} c _{0}}{k _{1} + k _{2}} + \frac{k _{1} c _{0}}{k _{1} + k _{2}} e^{- (k_{1} + k_{2}) t} t \to + \infty \frac{k _{2} c _{0}}{k _{1} + k _{2}} [A](t)=k₂c₀/(k₁+k₂)+k₁c₀/(k₁+k₂) e^(-(k₁+k₂)t) \to k₂c₀/(k₁+k₂) K = \frac{[ B ] _{\overset{e}{ˊ} q}}{[ A ] _{\overset{e}{ˊ} q}} = \frac{k _{1}}{k _{2}} = 3 [A]_{\overset{e}{ˊ} q} = 0, 025 mol/L K=([B]_ éq)/([A]_ éq)=k₁/k₂=3 [A]_ éq =0,025 mol/L

Conclusion : la réponse à la question

Une réaction réversible tend vers un état d'équilibre dynamique, solution limite de l'équation $y^{'} = a y + b$ y'=ay+b : $[A]$ [A] se stabilise à $\frac{k _{2} c _{0}}{k _{1} + k _{2}}$ k₂c₀/(k₁+k₂), et le rapport $\frac{k _{1}}{k _{2}}$ k₁/k₂ est la constante d'équilibre. Les réactions ne s'arrêtent pas, elles se compensent.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Vérifiez que la solution vaut c₀ en t = 0.

$\frac{k _{2} c _{0}}{k _{1} + k _{2}} + \frac{k _{1} c _{0}}{k _{1} + k _{2}} = c_{0}$ k₂c₀/(k₁+k₂)+k₁c₀/(k₁+k₂)=c₀.

Que se passe-t-il si k₂ = 0 ?

La réaction est totale : $[A] = c_{0} e^{- k_{1} t} \to 0$ [A]=c₀e^(-k₁t)→0.

Au bout de combien de temps l'écart à l'équilibre est-il divisé par 2 ?

L'écart vaut $\frac{k _{1} c _{0}}{k _{1} + k _{2}} e^{- (k_{1} + k_{2}) t}$ k₁c₀/(k₁+k₂)e^(-(k₁+k₂)t) : il est divisé par 2 en $\frac{l n 2}{k _{1} + k _{2}} \approx 17$ ln2/(k₁+k₂)≈17 s dans l'exemple.

Que devient [A]_éq si l'on double c₀ ?

Elle double aussi : le rapport [B]/[A] à l'équilibre, égal à K, ne dépend pas de la quantité initiale.

Comment prouver que l'équilibre est dynamique ?

Avec un traceur isotopique : on ajoute du B marqué à un mélange à l'équilibre, et on retrouve des atomes marqués dans A.

Un catalyseur change-t-il K ?

Non : il multiplie $k_{1}$ k₁ et $k_{2}$ k₂ par le même facteur, donc $\frac{k _{1}}{k _{2}}$ k₁/k₂ ne change pas ; seul le temps caractéristique diminue.

Quel est le taux d'avancement final en fonction de K ?

$τ = \frac{[ B ] _{\overset{e}{ˊ} q}}{c _{0}} = \frac{k _{1}}{k _{1} + k _{2}} = \frac{K}{1 + K}$ τ=([B]_ éq)/c₀=k₁/(k₁+k₂)=K/(1+K), soit $\frac{3}{4}$ 3/4 pour $K = 3$ K=3.

Les pièges qui coûtent des points

Dire qu'à l'équilibre il ne se passe plus rien.
Oublier la solution particulière constante.
Confondre constante d'équilibre et constante de vitesse.

Revoir les notions

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