Dérivation et étude des fonctions en Première spé maths

Dérivation et étude des fonctions en Première spé : cours complet

La dérivation est l'outil principal pour étudier les variations d'une fonction. En Première spé, tu apprends à calculer la dérivée, à dresser le tableau de signes de $f^{\prime }$f', et à en déduire les variations et extremums de $f$f.

Rappel : nombre dérivé et fonction dérivée

$$f^{\prime }(a)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$f'(a) = lim_h → 0 (f(a + h) - f(a))/h

La fonction $f^{\prime }$f' associe à chaque $x$x le nombre dérivé $f^{\prime }(x)$f'(x).

Dérivées des fonctions usuelles

Opérations sur les dérivées

$$(u+v{)}^{\prime }=u^{\prime }+v^{\prime };(ku{)}^{\prime }=k{u}^{\prime }$$(u + v)' = u' + v' ; (ku)' = ku'

$$(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime };{\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$$(uv)' = u'v + uv' ; (u/v)' = (u'v - uv')/v²

Lien dérivée — variations

Théorème fondamental

Soit $f$f dérivable sur un intervalle $I$I :

• $f^{\prime }(x)>0$f'(x) > 0 sur $I$I $\Rightarrow$⇒ $f$f est strictement croissante sur $I$I.
• $f^{\prime }(x)<0$f'(x) < 0 sur $I$I $\Rightarrow$⇒ $f$f est strictement décroissante sur $I$I.
• $f^{\prime }(x)=0$f'(x) = 0 partout sur $I$I $\Rightarrow$⇒ $f$f est constante sur $I$I.

Extremums

Si $f^{\prime }(x_0)=0$f'(x₀) = 0 et $f^{\prime }$f' change de signe en $x_0$x₀, alors $f$f admet un extremum local en $x_0$x₀ :

• $f^{\prime }$f' passe de $+$+ à $-$- : maximum local.
• $f^{\prime }$f' passe de $-$- à $+$+ : minimum local.

Méthode complète d'étude

Étape 1 — Domaine

Déterminer l'ensemble de définition $D_f$D_f.

Étape 2 — Calcul de la dérivée

Calculer $f^{\prime }(x)$f'(x).

Étape 3 — Signe de la dérivée

Résoudre $f^{\prime }(x)=0$f'(x) = 0, puis étudier le signe de $f^{\prime }$f' par tableau.

Étape 4 — Tableau de variations

Déduire les variations de $f$f.

Étape 5 — Extremums

Identifier les maxima et minima.

Étape 6 — Représentation graphique

Tracer la courbe en s'appuyant sur les variations et les valeurs particulières.

Exemple complet

Énoncé

Étudier $f(x)=x^3-3x^2+2$f(x) = x³ - 3x² + 2 sur $\mathbb{R}$ℝ.

Solution

Étape 1 : $D_f=\mathbb{R}$D_f = ℝ.

Étape 2 : $f^{\prime }(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$f'(x) = 3x² - 6x = 3x(x - 2).

Étape 3 : $f^{\prime }(x)=0⟺x=0$f'(x) = 0 ⇔ x = 0 ou $x=2$x = 2.

Tableau de signes :

Étape 4 : tableau de variations :

Étape 5 : Maximum local $2$2 en $x=0$x = 0, minimum local $-2$-2 en $x=2$x = 2.

Optimisation

Méthode

Pour optimiser une grandeur (aire, volume, coût) modélisée par une fonction $f$f :

1. Exprimer la grandeur à optimiser en fonction d'une variable.
2. Étudier la fonction (variations).
3. Conclure sur la valeur qui maximise ou minimise.

Exemple

Boîte sans couvercle obtenue à partir d'un carré de côté $10$10 cm en pliant des carrés de côté $x$x aux quatre coins. Volume :

$$V(x)=x(10-2x{)}^2$$V(x) = x(10 - 2x)²

Sur $[0;5]$[0 ; 5]. On dérive et trouve le $x$x qui maximise.

Convexité et concavité (introduction)

Si $f^{\prime \prime }(x)>0$f''(x) > 0 sur $I$I : $f$f est convexe (courbe « creuse »). Si $f^{\prime \prime }(x)<0$f''(x) < 0 sur $I$I : $f$f est concave.

(Étude approfondie en Terminale.)

Erreurs fréquentes à éviter

• Confondre $f$f et $f^{\prime }$f' : la dérivée est une autre fonction.
• Mauvais signe dans le tableau.
• Oublier l'ensemble de définition.
• Mauvaise lecture du tableau de variations.
• Confondre extremum local et global.

FAQ — Dérivation et étude des fonctions

À quoi sert l'étude de fonction ?

À comprendre son comportement, à prévoir ses valeurs, à optimiser (max/min), à tracer la courbe.

Comment savoir si un extremum est local ou global ?

On compare la valeur en cet extremum aux autres valeurs sur l'ensemble de définition.

Une fonction peut-elle ne pas avoir de dérivée ?

Oui en certains points (par exemple $|x|$|x| en $0$0). Ces points sont non dérivables.

Pourquoi étudier le signe de $f^{\prime }$f' ?

C'est la clé des variations : le signe de la dérivée donne le sens de variation.