Question transversaleMathsSVTDiagnostic et santé

Comment mesure-t-on l'acuité visuelle, et pourquoi les lettres rétrécissent-elles si vite sur le tableau ?

Q: Convertissez 5 minutes d'angle en radians.

$5/60×π/180≈1,45×10⁻³$ rad.

Q: Quelle taille de lettre pour 10/10 à 2 m ?

$2 000×1,45×10⁻³≈2,9$ mm.

Une acuité de 10/10 permet de lire une lettre vue sous 5 minutes d'angle, soit 5 000 mm × tan(5′) ≈ 7,3 mm à 5 mètres ; une acuité de 1/10 demande 73 mm. Les échelles modernes progressent géométriquement, chaque ligne réduisant la taille d'un même facteur (logMAR).

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Chez l'ophtalmologiste, j'ai lu des lignes de lettres de plus en plus petites, jusqu'à ne plus pouvoir distinguer. On m'a annoncé « 10/10 ». Je me suis demandé ce que mesure ce nombre, et pourquoi la taille des lettres diminue de cette façon. La réponse mêle trigonométrie, pour la taille des lettres, et suites géométriques, pour la construction des échelles.

L'enjeu et les notions du programme

Relier une taille à un angle par la tangente, et comprendre une échelle de mesure construite en progression géométrique.

Mathématiques

Trigonométrie dans le triangle rectangle, tangente (seconde)
Approximation $tan θ \approx θ$ tanθ≈θ en radians (terminale)
Suites géométriques, logarithme (première, terminale)

Sciences de la vie et de la Terre

Œil, rétine, photorécepteurs (première)
Défauts de la vision, examens (première)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction
1 min
L'acuité visuelle mesure la capacité à distinguer de petits détails. Une acuité de 10/10 correspond à la capacité de séparer deux points vus sous un angle de 1 minute d'angle ( $\frac{1}{60}$ 1/60 de degré). Problématique : quelle taille doivent avoir les lettres, et comment construire l'échelle ?
2. Mathématiques : de l'angle à la taille
4 min
Une lettre de l'échelle est conçue pour que ses traits aient une épaisseur vue sous 1′ et la lettre entière sous 5′. À une distance $d$ d, la hauteur vaut $h = d tan θ$ h=dtanθ. Pour $d = 5$ d=5 m et $θ = 5^{'}$ θ=5' : $h = 5000 \times tan (\frac{5}{60} °) \approx 7, 3$ h=5 000×tan(5/60°)≈7,3 mm. Pour une acuité de 1/10, l'angle est 10 fois plus grand : environ 73 mm.
L'angle est très petit : en radians, $5^{'} \approx 1, 45 \times 1 0^{- 3}$ 5'≈1,45×10⁻³ rad, et $tan θ \approx θ$ tanθ≈θ : $h \approx 5000 \times 1, 45 \times 1 0^{- 3} \approx 7, 3$ h≈5 000×1,45×10⁻³≈7,3 mm. La taille est proportionnelle à la distance : à 2,5 m, il faut des lettres deux fois plus petites.
Les échelles modernes (logMAR) font progresser la taille des lettres géométriquement : chaque ligne est $1 0^{0, 1} \approx 1, 26$ 10^(0,1)≈1,26 fois plus petite que la précédente. Ainsi, chaque ligne représente le même progrès relatif, et le score (logarithme de l'angle minimal) varie de 0,1 par ligne. L'échelle de Monoyer en dixièmes, elle, progresse irrégulièrement : passer de 1/10 à 2/10 divise la taille par 2, mais passer de 9/10 à 10/10 seulement par 1,1.
3. SVT : les limites de l'œil
3 min
La limite de 1′ correspond à peu près à l'espacement des cônes au centre de la rétine (fovéa) : deux points trop proches stimulent les mêmes cônes ou des cônes voisins et ne sont plus séparés. De nombreuses personnes, surtout jeunes, dépassent 10/10.
Une acuité faible peut venir d'un défaut optique (myopie, hypermétropie, astigmatisme), corrigé par des verres, ou d'une atteinte de la rétine ou du nerf optique. L'examen se fait de loin et de près, œil par œil.
4. Conclusion
2 min
L'acuité visuelle mesure l'angle minimal qui permet de distinguer un détail : à 5 m, une lettre de 10/10 mesure environ 7 mm, calcul fait avec la tangente. Les échelles modernes progressent géométriquement pour que chaque ligne corresponde au même progrès relatif. J'ouvre sur la structure de la rétine, qui fixe la limite de la vision.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

h = d tan θ = 5000 \times tan (\frac{5}{60} °) \approx 7, 3 mm 1/10 : \approx 73 mm h=dtanθ=5 000\timestan(5/60°)\approx7,3 mm 1/10: \approx73 mm θ = 5^{'} \approx 1, 45 \times 1 0^{- 3} rad, tan θ \approx θ θ=5'\approx1,45\times10⁻³ rad , tanθ\approxθ logMAR : rapport 1 0^{0, 1} \approx 1, 26 entre deux lignes logMAR : rapport 10^(0,1)\approx1,26 entre deux lignes

Conclusion : la réponse à la question

L'acuité visuelle se mesure par un angle : la taille des lettres se calcule par la tangente de cet angle, proportionnelle à la distance. Une progression géométrique de la taille des lignes rend l'échelle cohérente, chaque ligne correspondant au même gain relatif.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Convertissez 5 minutes d'angle en radians.

$\frac{5}{60} \times \frac{π}{180} \approx 1, 45 \times 1 0^{- 3}$ 5/60×π/180≈1,45×10⁻³ rad.

Quelle taille de lettre pour 10/10 à 2 m ?

$2000 \times 1, 45 \times 1 0^{- 3} \approx 2, 9$ 2 000×1,45×10⁻³≈2,9 mm.

Pourquoi une progression géométrique ?

Pour que passer d'une ligne à la suivante représente toujours le même rapport de taille, donc le même progrès relatif.

Qu'est-ce que la fovéa ?

La zone centrale de la rétine, très riche en cônes, responsable de la vision des détails.

Peut-on avoir plus de 10/10 ?

Oui, beaucoup de jeunes adultes atteignent 12/10 ou plus.

Les pièges qui coûtent des points

Utiliser l'angle en degrés dans l'approximation tan θ ≈ θ.
Croire que 10/10 est un maximum.
Penser que l'échelle en dixièmes est régulière.

Revoir les notions

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