Trigonométrie (triangle rectangle) en Seconde

Trigonométrie (triangle rectangle) en seconde : cours complet

En seconde, tu approfondis la trigonométrie vue au collège : cosinus, sinus, tangente dans un triangle rectangle, valeurs remarquables, identités fondamentales. C'est la base de la trigonométrie circulaire qui sera étudiée en Première spé.

Définitions dans un triangle rectangle

Soit un triangle rectangle en $A$A, avec un angle aigu $\hat{B}$B̂ :

$$\cos (\hat{B})=\frac{\text{adjacent}}{\text{hypoteˊnuse}}=\frac{AB}{BC}$$cos(B̂) = adjacent/hypoténuse = AB/BC

$$\sin (\hat{B})=\frac{\text{opposeˊ}}{\text{hypoteˊnuse}}=\frac{AC}{BC}$$sin(B̂) = opposé/hypoténuse = AC/BC

$$\tan (\hat{B})=\frac{\text{opposeˊ}}{\text{adjacent}}=\frac{AC}{AB}$$tan(B̂) = opposé/adjacent = AC/AB

Mnémonique

SOH-CAH-TOA : Sin = Opposé/Hyp, Cos = Adjacent/Hyp, Tan = Opposé/Adjacent.

Valeurs remarquables

Identités fondamentales

Relation pythagoricienne

$${\cos }^2(\theta )+{\sin }^2(\theta )=1$$cos²(θ) + sin²(θ) = 1

Lien tangente / cosinus-sinus

$$\tan (\theta )=\frac{\sin (\theta )}{\cos (\theta )}(\cos (\theta )\ne 0)$$tan(θ) = sin(θ)/cos(θ) (cos(θ) ≠ 0)

Angles complémentaires

Si $\theta +{\theta }^{\prime }=90°$θ + θ' = 90° :

$$\cos (\theta )=\sin ({\theta }^{\prime })\sin (\theta )=\cos ({\theta }^{\prime })$$cos(θ) = sin(θ') sin(θ) = cos(θ')

Exemple

$$\cos (60°)=\sin (30°)=\frac{1}{2}$$cos(60°) = sin(30°) = 1/2

Encadrement

Pour $0°<\theta <90°$0° < θ < 90° :

$$0<\cos (\theta )<10<\sin (\theta )<1\tan (\theta )>0$$0 < cos(θ) < 1 0 < sin(θ) < 1 tan(θ) > 0

Calcul de longueurs

Méthode

1. Identifier l'angle aigu connu.
2. Repérer l'adjacent, l'opposé et l'hypoténuse.
3. Choisir la fonction (cos, sin ou tan) selon les données / inconnue.
4. Écrire l'égalité, résoudre.

Exemple — avec sinus

Triangle rectangle en $A$A, $\hat{B}=35°$B̂ = 35°, $BC=10$BC = 10. Calculer $AC$AC :

$$\sin (35°)=\frac{AC}{10}⟺AC=10\sin (35°)\approx 5,74$$sin(35°) = AC/10 ⇔ AC = 10 sin(35°) ≈ 5,74

Exemple — avec cosinus

Triangle rectangle en $A$A, $\hat{B}=50°$B̂ = 50°, $AB=8$AB = 8. Calculer $BC$BC :

$$\cos (50°)=\frac{8}{BC}⟺BC=\frac{8}{\cos (50°)}\approx 12,45$$cos(50°) = 8/BC ⇔ BC = 8/cos(50°) ≈ 12,45

Calcul d'angles

On utilise les fonctions réciproques $\arccos$arccos, $\arcsin$arcsin, $\arctan$arctan.

Exemple

Dans un triangle rectangle en $A$A, $AC=5$AC = 5 et $AB=12$AB = 12. Calculer $\hat{B}$B̂ :

$$\tan (\hat{B})=\frac{5}{12}\approx 0,417$$tan(B̂) = 5/12 ≈ 0,417 $$\hat{B}=\arctan (0,417)\approx 22,6°$$B̂ = arctan(0,417) ≈ 22,6°

Application : calcul de hauteur

Pour calculer la hauteur d'un arbre :

• Se placer à une distance $d$d de l'arbre.
• Mesurer l'angle $\theta$θ entre l'horizontale et le sommet de l'arbre.
• Hauteur $=d\times \tan (\theta )$= d × tan(θ).

Exemple

À $20$20 m de l'arbre, l'angle est de $35°$35° : hauteur $\approx 20\times \tan (35°)\approx 14$≈ 20 × tan(35°) ≈ 14 m.

Rédaction

Pour calculer une longueur

Dans le triangle $ABC$ABC rectangle en $A$A : $\sin (\hat{B})=\frac{AC}{BC}$sin(B̂) = AC/BC $\sin (35°)=\frac{AC}{10}$sin(35°) = AC/10 $AC\approx 5,74$AC ≈ 5,74 cm.

Pour calculer un angle

$\tan (\hat{B})=\frac{AC}{AB}=\frac{5}{12}$tan(B̂) = AC/AB = 5/12 $\hat{B}=\arctan (\frac{5}{12})\approx 22,6°$B̂ = arctan(5/12) ≈ 22,6°.

Erreurs fréquentes à éviter

• Calculatrice en mode RAD : passe en DEG.
• Mauvaise identification adjacent/opposé par rapport à l'angle considéré.
• ${\cos }^{-1}$cos⁻¹ confondu avec $\frac{1}{\cos }$1/cos : ce n'est PAS la même chose.
• Mauvais arrondi : respecter la consigne.

FAQ — La trigonométrie en seconde

Comment retenir les valeurs remarquables ?

Par cœur (essentiellement $0°,30°,45°,60°,90°$0°, 30°, 45°, 60°, 90°), ou en se souvenant qu'elles font intervenir $0,\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},1$0, 1/2, √(2)/2, √(3)/2, 1 dans l'ordre pour le sinus, l'inverse pour le cosinus.

Pourquoi ${\cos }^2(\theta )+{\sin }^2(\theta )=1$cos²(θ) + sin²(θ) = 1 ?

C'est le théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle dont l'hypoténuse vaut $1$1.

Quelle est la différence avec la trigonométrie circulaire ?

Au collège et en seconde, la trigonométrie est définie dans un triangle rectangle (angle aigu). En première spé, on l'étend à tous les angles via le cercle trigonométrique.

À quoi sert la trigonométrie ?

À mesurer des distances inaccessibles, à modéliser les ondes (son, lumière), à programmer des animations 3D, à l'astronomie, à la navigation.