Question transversaleMathsSVTPhysiologie

Comment modéliser le retour de la glycémie à la normale après un repas ?

Q: Résolvez l'équation différentielle.

En posant $z=y-0,9$, on a $z'=-kz$, donc $z=Ce^(-kt)$ et $y=0,9+Ce^(-kt)$.

Q: Combien de temps pour revenir à 1 g/L avec une demi-vie de 30 min ?

$0,6e^(-kt)=0,1⇔ t=ln6/k=30×ln6/ln2≈78$ min.

Après un repas, l'insuline ramène la glycémie vers sa valeur d'équilibre (environ 0,9 g/L) à une vitesse proportionnelle à l'écart : y′ = −k(y − 0,9). L'écart décroît exponentiellement ; quand l'insuline agit moins bien (diabète de type 2), k diminue et la glycémie reste élevée plus longtemps.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Ma tante est diabétique et mesure sa glycémie après les repas. Elle m'a expliqué que le problème n'est pas seulement la hauteur du pic, mais le temps que met la glycémie à redescendre. En SVT, j'ai étudié la régulation par l'insuline ; en mathématiques, j'ai reconnu dans ce retour à l'équilibre une équation différentielle que l'on sait résoudre.

L'enjeu et les notions du programme

Modéliser un retour à l'équilibre par une équation différentielle linéaire, interpréter le paramètre k comme une efficacité de régulation et comparer deux situations.

Mathématiques

Équations différentielles y′ = ay + b (terminale)
Fonction exponentielle, demi-vie (terminale)
Logarithme pour calculer un temps (terminale)

Sciences de la vie et de la Terre

Régulation de la glycémie, insuline et glucagon (première)
Diabètes de type 1 et 2 (première)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction
1 min
La glycémie, concentration du glucose dans le sang, reste proche de 0,9 g/L à jeun. Après un repas riche en glucides, elle augmente puis redescend. Problématique : comment décrire ce retour, et que change le diabète ?
2. SVT : la régulation par l'insuline
3 min
Quand la glycémie augmente, le pancréas sécrète de l'insuline, hormone qui favorise l'entrée du glucose dans les cellules du foie, des muscles et du tissu adipeux, et son stockage sous forme de glycogène. Plus l'écart à la valeur normale est grand, plus la sécrétion d'insuline est forte : c'est une régulation par rétrocontrôle négatif.
Dans le diabète de type 2, les cellules répondent moins bien à l'insuline (insulinorésistance) : le glucose est stocké plus lentement. On le dépiste notamment par une hyperglycémie provoquée : une glycémie supérieure à 2,00 g/L deux heures après l'ingestion de 75 g de glucose signe un diabète.
3. Mathématiques : une équation différentielle
4 min
On suppose qu'après le pic, la vitesse de baisse est proportionnelle à l'écart à l'équilibre : $y^{'} = - k (y - 0, 9)$ y'=-k(y-0,9), avec $y$ y en g/L et $t$ t en minutes. La solution est $y (t) = 0, 9 + C e^{- k t}$ y(t)=0,9+Ce^(-kt) : l'écart décroît exponentiellement. Avec un pic à 1,5 g/L, $C = 0, 6$ C=0,6.
La demi-vie de l'écart vaut $\frac{l n 2}{k}$ ln2/k. Valeurs illustratives : chez une personne sans diabète, demi-vie de 30 min, soit $k \approx 0, 023$ k≈0,023 par minute ; une heure après le pic, $y = 0, 9 + 0, 6 \times \frac{1}{4} = 1, 05$ y=0,9+0,6×1/4=1,05 g/L, deux heures après, $0, 94$ 0,94 g/L. Avec une insulinorésistance qui triple la demi-vie (90 min) : 1,28 g/L après une heure et 1,14 g/L après deux heures.
Le paramètre $k$ k résume l'efficacité de la régulation. Le modèle est simplifié : l'absorption intestinale continue après le pic et le glucagon intervient si la glycémie descend trop.
4. Conclusion
2 min
Le retour de la glycémie à la normale se modélise par une équation différentielle dont la solution est une exponentielle décroissante de l'écart. Le diabète de type 2 réduit la constante $k$ k : la glycémie reste élevée plus longtemps. J'ouvre sur les capteurs de glycémie en continu, qui mesurent cette dynamique en temps réel.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

y^{'} = - k (y - 0, 9) \Rightarrow y (t) = 0, 9 + 0, 6 e^{- k t} t_{1/2} = \frac{ln 2}{k} y'=-k(y-0,9) \Rightarrow y(t)=0,9+0,6 e^(-kt) t_1/2=ln2/k t_{1/2} = 30 min : y (60) = 1, 05 y (120) \approx 0, 94 t_{1/2} = 90 min : y (60) \approx 1, 28 y (120) \approx 1, 14 t_1/2=30 min : y(60)=1,05 y(120)\approx0,94 t_1/2=90 min : y(60)\approx1,28 y(120)\approx1,14

Conclusion : la réponse à la question

La régulation de la glycémie se décrit par un retour exponentiel à l'équilibre, dont la vitesse dépend de l'efficacité de l'insuline. Un seul paramètre, k, permet de comparer une régulation normale et une insulinorésistance.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Résolvez l'équation différentielle.

En posant $z = y - 0, 9$ z=y-0,9, on a $z^{'} = - k z$ z'=-kz, donc $z = C e^{- k t}$ z=Ce^(-kt) et $y = 0, 9 + C e^{- k t}$ y=0,9+Ce^(-kt).

Quel est le rôle du glucagon ?

Il fait remonter la glycémie quand elle baisse, en libérant le glucose stocké dans le foie.

Quelle est la différence entre diabète de type 1 et de type 2 ?

Dans le type 1, le pancréas ne produit plus d'insuline (maladie auto-immune) ; dans le type 2, les cellules y répondent mal.

Combien de temps pour revenir à 1 g/L avec une demi-vie de 30 min ?

$0, 6 e^{- k t} = 0, 1 ⟺ t = \frac{l n 6}{k} = 30 \times \frac{l n 6}{l n 2} \approx 78$ 0,6e^(-kt)=0,1⇔ t=ln6/k=30×ln6/ln2≈78 min.

Quelle est la limite principale du modèle ?

Il néglige l'absorption du glucose qui continue après le pic et l'intervention du glucagon.

Les pièges qui coûtent des points

Faire tendre la glycémie vers 0 au lieu de 0,9 g/L.
Confondre diabète de type 1 et de type 2.
Présenter les valeurs illustratives comme des normes médicales.

Revoir les notions

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