Les étapes

1
Vérifier qu'elle est géométrique et trouver q
On calcule le rapport $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}}$ uₙ₊₁/uₙ : s'il est constant, la suite est géométrique et ce rapport est la raison $q$ q.
2
Donner le terme général
On écrit $u_{n} = u_{0} \times q^{n}$ uₙ = u₀ × qⁿ (ou $u_{n} = u_{p} \times q^{n - p}$ uₙ = uₚ × q^(n-p) selon le premier terme connu).
3
Étudier le sens de variation
Pour $u_{0} > 0$ u₀ > 0 : si $q > 1$ q > 1 la suite est croissante, si $0 < q < 1$ 0 < q < 1 elle est décroissante, si $q = 1$ q = 1 elle est constante.

Exemple corrigé

Une suite géométrique vérifie $u_{2} = 18$ u₂ = 18 et $u_{4} = 162$ u₄ = 162, avec $q > 0$ q > 0. Déterminer sa raison, son premier terme et son sens de variation.

1.Entre les rangs $2$ 2 et $4$ 4, on multiplie $2$ 2 fois par $q$ q : $q^{2} = \frac{u _{4}}{u _{2}} = \frac{162}{18} = 9$ q² = u₄/u₂ = 162/18 = 9, donc $q = 3$ q = 3 (car $q > 0$ q > 0).
2.Premier terme : $u_{0} = \frac{u _{2}}{q ^{2}} = \frac{18}{9} = 2$ u₀ = u₂/q² = 18/9 = 2, d'où $u_{n} = 2 \times 3^{n}$ uₙ = 2× 3ⁿ.
3.Comme $u_{0} = 2 > 0$ u₀ = 2 > 0 et $q = 3 > 1$ q = 3 > 1, la suite est croissante.

Résultat :

q = 3

q = 3,

u_{0} = 2

u₀ = 2,

u_{n} = 2 \times 3^{n}

uₙ = 2× 3ⁿ, suite croissante.

Piège à éviter

Le rapport des termes donne

q^{n - p}

q^(n-p) : avec

u_{2}

u₂ et

u_{4}

u₄, on obtient

q^{2}

q², il faut ensuite prendre la racine.

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