Exercices corrigés : Répétition d'épreuves indépendantes — Première STMG

Correction détaillée

1. 1

   Une épreuve de Bernoulli a exactement deux issues : un succès, de probabilité $p$p, et un échec, de probabilité $1-p$1 - p.

2. 2

   Tirer un as : oui.

   Il y a $4$4 as sur $32$32 cartes, donc $p=\frac{4}{32}=\frac{1}{8}=0,125$p = 4/32 = 1/8 = 0,125.

3. 3

   Note de satisfaction : non, il y a cinq issues.

   On peut en faire une épreuve de Bernoulli en choisissant un succès, par exemple « note de $4$4 ou $5$5 ».

4. 4

   Colis en retard : oui, le succès est « le colis arrive en retard », avec $p=0,08$p = 0,08.

   Le « succès » est simplement l'issue qui nous intéresse.

Correction détaillée

1. 1

   Le jeton est remis : les deux tirages sont des épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, de succès « jeton gagnant » et de probabilité $p=\frac{4}{10}=0,4$p = 4/10 = 0,4.

2. 2

   Deux gagnants : un seul chemin de l'arbre, $0,4\times 0,4=0,16$0,4 × 0,4 = 0,16.

3. 3

   Exactement un gagnant : deux chemins (gagnant puis perdant, ou l'inverse), chacun de probabilité $0,4\times 0,6=0,24$0,4 × 0,6 = 0,24.

4. 4

   On additionne : $0,24+0,24=0,48$0,24 + 0,24 = 0,48.

Rappel de cours : On multiplie le long d'un chemin, on additionne les chemins qui mènent au même événement.

Correction détaillée

1. 1

   Succès : « l'imprimante tombe en panne », $p=0,1$p = 0,1, répété deux fois de façon indépendante.

2. 2

   Les deux en panne : $0,1\times 0,1=0,01$0,1 × 0,1 = 0,01, soit une journée sur cent.

3. 3

   « Au moins une en panne » a pour contraire « aucune en panne », de probabilité $0,9\times 0,9=0,81$0,9 × 0,9 = 0,81.

4. 4

   Donc $P(\text{au moins une en panne})=1-0,81=0,19$P( au moins une en panne ) = 1 - 0,81 = 0,19.

5. 5

   Le bureau peut presque toujours imprimer (sauf une journée sur cent), mais une panne survient environ une journée sur cinq.

Correction détaillée

1. 1

   Exactement une vente se produit de deux façons : vente au premier client et pas au second, ou l'inverse.

2. 2

   Chacun de ces chemins a pour probabilité $0,35\times 0,65=0,2275$0,35 × 0,65 = 0,2275.

3. 3

   On additionne les deux chemins : $2\times 0,2275=0,455$2 × 0,2275 = 0,455.

4. 4

   Contrôle : deux ventes $0,35^2=0,1225$0,35² = 0,1225, aucune vente $0,65^2=0,4225$0,65² = 0,4225, et $0,1225+0,455+0,4225=1$0,1225 + 0,455 + 0,4225 = 1.

Erreur fréquente : Oublier l'un des deux chemins et répondre $0,2275$0,2275.

Correction détaillée

1. 1

   Trois lancers de dé : oui, le dé ne change pas d'un lancer à l'autre et un lancer n'influence pas le suivant.

2. 2

   Deux cartes sans remise : non, le jeu n'a plus que $31$31 cartes au second tirage et sa composition dépend de la première carte.

3. 3

   Trois clients parmi des milliers : on peut considérer que oui.

   Retirer un client ne change presque pas la proportion des autres, on assimile les choix à des tirages avec remise.

Correction détaillée

1. 1

   L'arbre à trois niveaux compte $8$8 chemins.

   Un chemin à $k$k inscriptions a pour probabilité $0,4^k\times 0,6^{3-k}$0,4^(k) × 0,6^(3 - k), et il y a $1$1, $3$3, $3$3 ou $1$1 chemins pour $k=0$k = 0, $1$1, $2$2, $3$3.

2. 2

   $P(X=0)=0,6^3=0,216$P(X = 0) = 0,6³ = 0,216 et $P(X=1)=3\times 0,4\times 0,36=0,432$P(X = 1) = 3 × 0,4 × 0,36 = 0,432.

3. 3

   $P(X=2)=3\times 0,16\times 0,6=0,288$P(X = 2) = 3 × 0,16 × 0,6 = 0,288 et $P(X=3)=0,4^3=0,064$P(X = 3) = 0,4³ = 0,064.

4. 4

   Contrôle : $0,216+0,432+0,288+0,064=1$0,216 + 0,432 + 0,288 + 0,064 = 1.

Rappel de cours : Trois épreuves : $1$1, $3$3, $3$3, $1$1 chemins pour $0$0, $1$1, $2$2, $3$3 succès.

Correction détaillée

1. 1

   « Au moins une défectueuse » regroupe sept des huit chemins ; son contraire, « aucune défectueuse », n'en compte qu'un.

2. 2

   $P(\text{aucune})=0,85^3=0,614125$P( aucune ) = 0,85³ = 0,614125.

3. 3

   $P(\text{au moins une})=1-0,614125=0,385875$P( au moins une ) = 1 - 0,614125 = 0,385875, soit environ $0,386$0,386.

Erreur fréquente : Retrancher $0,15^3$0,15³ (trois défectueuses) au lieu de $0,85^3$0,85³ (aucune défectueuse).

Correction détaillée

1. 1

   Gagner, gagner, perdre dans cet ordre : un seul chemin, $0,6\times 0,6\times 0,4=0,144$0,6 × 0,6 × 0,4 = 0,144.

2. 2

   Exactement deux victoires sans ordre imposé : trois chemins (la défaite au premier, deuxième ou troisième match), chacun de probabilité $0,144$0,144.

3. 3

   $P(\text{exactement deux victoires})=3\times 0,144=0,432$P( exactement deux victoires ) = 3 × 0,144 = 0,432.

4. 4

   La seconde probabilité est trois fois plus grande que la première : l'énoncé dit si l'ordre compte.

Correction détaillée

1. 1

   $E(X)=0\times 0,216+1\times 0,432+2\times 0,288+3\times 0,064$E(X) = 0 × 0,216 + 1 × 0,432 + 2 × 0,288 + 3 × 0,064.

2. 2

   $E(X)=0,432+0,576+0,192=1,2$E(X) = 0,432 + 0,576 + 0,192 = 1,2.

3. 3

   Vérification : trois visiteurs qui s'inscrivent chacun avec la probabilité $0,4$0,4 donnent en moyenne $3\times 0,4=1,2$3 × 0,4 = 1,2 inscription.

4. 4

   Sur un grand nombre de groupes de trois visiteurs, on compte en moyenne $1,2$1,2 inscription par groupe.

Correction détaillée

1. 1

   On place les deux succès parmi les quatre rangs : $SSEE$SSEE, $SESE$SESE, $SEES$SEES, $ESSE$ESSE, $ESES$ESES, $EESS$EESS, soit $6$6 issues.

2. 2

   Avec $p=0,5$p = 0,5, chaque issue a pour probabilité $0,5^4=0,0625$0,5⁴ = 0,0625.

3. 3

   $P(\text{exactement deux succeˋs})=6\times 0,0625=0,375$P( exactement deux succès ) = 6 × 0,0625 = 0,375.

4. 4

   Contrôle du comptage : $1+4+6+4+1=16=2^4$1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 2⁴ chemins en tout.

Rappel de cours : Quatre épreuves : $1$1, $4$4, $6$6, $4$4, $1$1 chemins pour $0$0 à $4$4 succès.

Correction détaillée

1. 1

   Aucune défectueuse : un seul chemin, $0,98^4\approx 0,9224$0,98⁴ ≈ 0,9224.

2. 2

   Au moins une défectueuse : par le contraire, $1-0,98^4\approx 0,0776$1 - 0,98⁴ ≈ 0,0776.

3. 3

   Avec $2\%$2 % de défauts, un contrôle de quatre pièces ne détecte un défaut qu'environ $8$8 fois sur $100$100.

Correction détaillée

1. 1

   « Au plus un » signifie « aucun » ou « exactement un ».

2. 2

   Aucun achat : $0,7^4=0,2401$0,7⁴ = 0,2401.

3. 3

   Exactement un achat : $4$4 chemins, chacun de probabilité $0,3\times 0,7^3=0,1029$0,3 × 0,7³ = 0,1029, soit $4\times 0,1029=0,4116$4 × 0,1029 = 0,4116.

4. 4

   $P(\text{au plus un})=0,2401+0,4116=0,6517$P( au plus un ) = 0,2401 + 0,4116 = 0,6517.

Correction détaillée

1. 1

   Le service ne s'arrête que si tous les serveurs sont en panne.

   Avec $n$n serveurs : $P(\text{fonctionne})=1-0,15^n$P( fonctionne ) = 1 - 0,15ⁿ.

2. 2

   Deux serveurs : $1-0,0225=0,9775$1 - 0,0225 = 0,9775.

   Trois serveurs : $1-0,003375=0,996625$1 - 0,003375 = 0,996625.

3. 3

   Deux serveurs donnent $97,75\%$97,75 %, moins que $99\%$99 % ; trois en donnent environ $99,66\%$99,66 %.

   Il faut donc trois serveurs.

Correction détaillée

1. 1

   Avec $n$n appels, par le contraire : $P(\text{au moins un don})=1-0,6^n$P( au moins un don ) = 1 - 0,6ⁿ.

2. 2

   $n=1$n = 1 : $0,4$0,4 ; $n=2$n = 2 : $0,64$0,64 ; $n=3$n = 3 : $0,784$0,784 ; $n=4$n = 4 : $1-0,1296=0,8704$1 - 0,1296 = 0,8704.

3. 3

   Même avec quatre appels, la probabilité reste sous $0,9$0,9 : quatre appels ne suffisent pas.

   Il faudrait davantage d'appels, ou améliorer le taux de réussite de chaque appel.

Correction détaillée

1. 1

   Le nombre de faces vaut $0$0, $1$1, $2$2 ou $3$3 avec les probabilités $0,125$0,125 ; $0,375$0,375 ; $0,375$0,375 ; $0,125$0,125 ($1$1, $3$3, $3$3, $1$1 chemins de probabilité $0,125$0,125).

2. 2

   Le gain net est $G=5\times (\text{nombre de faces})-6$G = 5 × ( nombre de faces ) - 6, soit $-6$-6, $-1$-1, $4$4 ou $9$9 € avec ces mêmes probabilités.

3. 3

   $E(G)=-6\times 0,125-1\times 0,375+4\times 0,375+9\times 0,125=-0,75-0,375+1,5+1,125=1,5$E(G) = -6 × 0,125 - 1 × 0,375 + 4 × 0,375 + 9 × 0,125 = -0,75 - 0,375 + 1,5 + 1,125 = 1,5 €.

4. 4

   L'espérance est positive : le jeu est favorable au joueur, qui gagne en moyenne $1,50$1,50 € par partie.

   L'organisateur perd de l'argent sur la durée.

Correction détaillée

1. 1

   Succès : « le client se présente », $p=0,9$p = 0,9, $n=4$n = 4.

2. 2

   Surréservation : un seul chemin, les quatre clients viennent.

   $P=0,9^4=0,6561$P = 0,9⁴ = 0,6561.

3. 3

   Dans environ deux trajets sur trois, un client se retrouve sans place : c'est beaucoup trop fréquent.

4. 4

   Avec un taux de présence de $90\%$90 %, accepter une réservation de plus que de places n'est pas raisonnable sur un si petit effectif.

   Le transporteur devrait arrêter, ou prévoir une solution de remplacement (taxi payé) systématique.

Correction détaillée

1. 1

   Le nombre de téléphones cassés vaut $0$0 à $4$4, avec $1$1, $4$4, $6$6, $4$4, $1$1 chemins : $P(0)=0,95^4\approx 0,8145$P(0) = 0,95⁴ ≈ 0,8145, $P(1)=4\times 0,05\times 0,95^3\approx 0,1715$P(1) = 4 × 0,05 × 0,95³ ≈ 0,1715, $P(2)=6\times 0,05^2\times 0,95^2\approx 0,0135$P(2) = 6 × 0,05² × 0,95² ≈ 0,0135, $P(3)\approx 0,0005$P(3) ≈ 0,0005, $P(4)\approx 0,0000$P(4) ≈ 0,0000.

2. 2

   $C$C vaut $0$0, $120$120, $240$240, $360$360 ou $480$480 € avec ces probabilités.

3. 3

   $E(C)\approx 120\times 0,1715+240\times 0,0135+360\times 0,0005\approx 20,58+3,24+0,18=24$E(C) ≈ 120 × 0,1715 + 240 × 0,0135 + 360 × 0,0005 ≈ 20,58 + 3,24 + 0,18 = 24 €.

4. 4

   En moyenne, les réparations coûtent $24$24 € par an, moins que les $40$40 € de l'assurance : elle n'est pas intéressante en moyenne.

   Elle protège seulement contre les années rares où plusieurs téléphones cassent.

Correction détaillée

1. 1

   Premier pari : succès « obtenir $6$6 », $p=\frac{1}{6}$p = 1/6.

   Par le contraire : $1-{\left(\frac{5}{6}\right)}^4\approx 1-0,482=0,518$1 - (5/6)⁴ ≈ 1 - 0,482 = 0,518.

2. 2

   Second pari : un double six a pour probabilité $\frac{1}{36}$1/36 à chaque lancer des deux dés.

   Par le contraire : $1-{\left(\frac{35}{36}\right)}^4\approx 1-0,893=0,107$1 - (35/36)⁴ ≈ 1 - 0,893 = 0,107.

3. 3

   Seul le premier pari est favorable (probabilité supérieure à $0,5$0,5).

   Le second est perdu près de neuf fois sur dix : quatre lancers ne suffisent pas pour un événement trente-six fois moins probable à chaque essai.

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1. 1

   Lot à $10\%$10 % : règle A, $0,9^3=0,729$0,9³ = 0,729 ; règle B, $0,9^3+3\times 0,1\times 0,9^2=0,729+0,243=0,972$0,9³ + 3 × 0,1 × 0,9² = 0,729 + 0,243 = 0,972.

2. 2

   Lot à $20\%$20 % : règle A, $0,8^3=0,512$0,8³ = 0,512 ; règle B, $0,512+3\times 0,2\times 0,8^2=0,512+0,384=0,896$0,512 + 3 × 0,2 × 0,8² = 0,512 + 0,384 = 0,896.

3. 3

   La règle B accepte presque tous les lots, même ceux deux fois plus défectueux ($89,6\%$89,6 %) : elle ne protège guère l'acheteur.

4. 4

   La règle A est plus sévère et distingue mieux les deux qualités ($72,9\%$72,9 % contre $51,2\%$51,2 %), au prix du refus d'un bon lot sur quatre environ.

Correction détaillée

1. 1

   Succès : « le client paie », $p=0,6$p = 0,6, $n=3$n = 3 : $P(X=0)=0,4^3=0,064$P(X = 0) = 0,4³ = 0,064, $P(X=1)=3\times 0,6\times 0,16=0,288$P(X = 1) = 3 × 0,6 × 0,16 = 0,288, $P(X=2)=3\times 0,36\times 0,4=0,432$P(X = 2) = 3 × 0,36 × 0,4 = 0,432, $P(X=3)=0,6^3=0,216$P(X = 3) = 0,6³ = 0,216.

2. 2

   Le montant récupéré vaut $0$0, $500$500, $1000$1 000 ou $1500$1 500 € : en moyenne $500\times 0,288+1000\times 0,432+1500\times 0,216=144+432+324=900$500 × 0,288 + 1 000 × 0,432 + 1 500 × 0,216 = 144 + 432 + 324 = 900 €.

3. 3

   Les trois relances coûtent $3\times 15=45$3 × 15 = 45 €, d'où un gain moyen net de $900-45=855$900 - 45 = 855 €.

4. 4

   Au moins $1000$1 000 € : au moins deux clients paient, $P(X⩾2)=0,432+0,216=0,648$P(X ≥ 2) = 0,432 + 0,216 = 0,648.

5. 5

   La relance est très rentable : pour $45$45 € de frais, la PME récupère en moyenne $900$900 €, et au moins $1000$1 000 € près de deux fois sur trois.