Répétition d'épreuves indépendantes en Première STMG

Répétition d'épreuves indépendantes en Première STMG : cours complet

Beaucoup de situations de gestion se résument à une question à deux réponses : le client achète-t-il ? la pièce est-elle conforme ? le colis arrive-t-il à l'heure ? En Première STMG, on apprend à calculer des probabilités quand cette question se pose plusieurs fois de suite, dans les mêmes conditions.

Épreuve de Bernoulli

Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui n'a que deux issues :

• le succès $S$S, de probabilité $p$p ;
• l'échec $\overline{S}$S̅, de probabilité $1-p$1 - p.

Exemple : un client achète avec la probabilité $0,3$0,3. Le succès est « le client achète », $p=0,3$p = 0,3, et l'échec a pour probabilité $0,7$0,7.

Le « succès » est simplement l'issue qui intéresse : ce peut être une panne ou un retard.

Épreuves identiques et indépendantes

On répète $n$n fois la même épreuve de Bernoulli :

• identiques : la probabilité de succès est la même, $p$p, à chaque fois ;
• indépendantes : le résultat d'une épreuve ne modifie pas les probabilités des suivantes.

C'est le cas de lancers successifs d'un dé, de tirages avec remise, ou de clients choisis au hasard dans une très grande population. Des tirages sans remise dans une petite urne ne sont pas indépendants.

L'arbre de probabilités

Chaque épreuve double le nombre de chemins : $2$2 chemins pour une épreuve, $4$4 pour deux, $8$8 pour trois, $16$16 pour quatre.

• On multiplie les probabilités le long d'un chemin.
• On additionne les probabilités des chemins qui mènent au même événement.
• La somme de tous les chemins vaut $1$1.

Exemple : deux clients

Chaque client achète avec la probabilité $0,3$0,3, indépendamment.

$$P(\text{deux achats})=0,3\times 0,3=0,09$$P( deux achats ) = 0,3 × 0,3 = 0,09

$$P(\text{exactement un achat})=0,3\times 0,7+0,7\times 0,3=0,42$$P( exactement un achat ) = 0,3 × 0,7 + 0,7 × 0,3 = 0,42

et $P(\text{aucun achat})=0,7^2=0,49$P( aucun achat ) = 0,7² = 0,49. Contrôle : $0,09+0,42+0,49=1$0,09 + 0,42 + 0,49 = 1.

Compter les chemins

Un chemin qui comporte $k$k succès et $n-k$n - k échecs a pour probabilité

$$p^k(1-p{)}^{n-k}$$p^(k) (1 - p)^(n - k)

quel que soit l'ordre. Il suffit donc de compter les chemins qui ont le même nombre de succès :

Pour quatre épreuves, les $6$6 chemins à deux succès sont $SSEE$SSEE, $SESE$SESE, $SEES$SEES, $ESSE$ESSE, $ESES$ESES, $EESS$EESS.

Exemple : trois pièces contrôlées

Une machine produit $10\%$10 % de pièces défectueuses ; on prélève trois pièces au hasard.

$$P(\text{exactement une deˊfectueuse})=3\times 0,1\times 0,9^2=0,243$$P( exactement une défectueuse ) = 3 × 0,1 × 0,9² = 0,243

$P(0)=0,9^3=0,729$P(0) = 0,9³ = 0,729, $P(2)=3\times 0,1^2\times 0,9=0,027$P(2) = 3 × 0,1² × 0,9 = 0,027 et $P(3)=0,1^3=0,001$P(3) = 0,1³ = 0,001.

Au moins un succès : l'événement contraire

« Au moins un succès » regroupe presque tous les chemins. Son contraire, « aucun succès », n'en compte qu'un :

$$P(\text{au moins un succeˋs})=1-(1-p{)}^n$$P( au moins un succès ) = 1 - (1 - p)ⁿ

Exemple : avec trois lancers d'un dé, $P(\text{au moins un }6)=1-{\left(\frac{5}{6}\right)}^3=\frac{91}{216}\approx 0,421$P( au moins un 6) = 1 - (5/6)³ = 91/216 ≈ 0,421.

Nombre de succès et espérance

Le nombre $X$X de succès est une variable aléatoire. Sa loi s'obtient en regroupant les chemins, et son espérance se calcule comme pour toute variable aléatoire :

$$E(X)=0\times P(X=0)+1\times P(X=1)+\cdots +n\times P(X=n)$$E(X) = 0 × P(X = 0) + 1 × P(X = 1) + … + n × P(X = n)

On constate sur chaque exemple que $E(X)=n\times p$E(X) = n × p : trois clients qui achètent chacun avec la probabilité $0,2$0,2 donnent en moyenne $0,6$0,6 acheteur.

Erreurs fréquentes à éviter

• Additionner les probabilités d'un même chemin : deux achats ont pour probabilité $0,3\times 0,3$0,3 × 0,3, pas $0,3+0,3$0,3 + 0,3.
• Oublier des chemins : il y a $3$3 façons d'avoir exactement un succès en trois épreuves.
• Se tromper de contraire : le contraire de « au moins une pièce défectueuse » est « aucune pièce défectueuse ».
• Appliquer le modèle sans remise : quand la composition de l'urne change, les épreuves ne sont plus indépendantes.

FAQ — Répétition d'épreuves en Première STMG

Faut-il connaître la formule de la loi binomiale ?

Non, pas en Première STMG : on dessine l'arbre ou on liste les issues, et on compte les chemins. La loi binomiale et sa formule sont étudiées en terminale.

Comment savoir si les épreuves sont indépendantes ?

On se demande si le résultat d'une épreuve peut changer les probabilités de la suivante. Avec remise, ou dans une très grande population, ce n'est pas le cas ; sans remise dans une petite urne, si.

Pourquoi passer par l'événement contraire ?

Parce que « au moins un succès » regroupe beaucoup de chemins, alors que « aucun succès » n'en compte qu'un : le calcul est plus court et le risque d'oubli disparaît.

À quoi sert ce chapitre en gestion ?

À estimer un risque (surréservation, pannes, retards), à évaluer un contrôle qualité, ou à prévoir le résultat moyen d'une campagne commerciale.