Probabilités conditionnelles en Terminale STMG

Probabilités conditionnelles en Terminale STMG : cours complet

Une probabilité conditionnelle mesure la probabilité d'un événement quand on sait qu'un autre est réalisé : la probabilité d'être malade sachant que le test est positif, celle qu'une pièce soit défectueuse sachant qu'elle sort d'une machine donnée. En Terminale STMG, on les calcule avec des tableaux et des arbres, puis on les combine avec la formule des probabilités totales.

Définition

Soit $A$A un événement de probabilité non nulle. La probabilité de $B$B sachant $A$A est :

$$P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$$P_A(B) = (P(A ∩ B))/P(A)

C'est la proportion de $B$B parmi les issues de $A$A : savoir que $A$A est réalisé restreint l'univers à $A$A. On en déduit $P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)$P(A ∩ B) = P(A) × P_A(B) et $P_A(B)+P_A(\overline{B})=1$P_A(B) + P_A(B̅) = 1.

Avec un tableau croisé

• $P(F\cap D)=\frac{70}{200}=0,35$P(F ∩ D) = 70/200 = 0,35 : on divise par l'effectif total ;
• $P_F(D)=\frac{70}{100}=0,7$P_F(D) = 70/100 = 0,7 : parmi les filles ;
• $P_D(F)=\frac{70}{130}\approx 0,538$P_D(F) = 70/130 ≈ 0,538 : parmi les demi-pensionnaires.

En général, $P_A(B)\ne P_B(A)$P_A(B) ≠ P_B(A) : c'est l'événement « sachant » qui fixe la population de référence.

Arbres pondérés

Un arbre traduit une situation en deux étapes :

• au premier niveau, $P(A)$P(A) et $P(\overline{A})$P(A̅) ;
• au second niveau, des probabilités conditionnelles : $P_A(B)$P_A(B), $P_A(\overline{B})$P_A(B̅), $P_{\overline{A}}(B)$P_A̅(B), $P_{\overline{A}}(\overline{B})$P_A̅(B̅).

Règle des nœuds : la somme des branches issues d'un même nœud vaut $1$1. Règle du chemin : la probabilité d'un chemin est le produit de ses branches, $P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)$P(A ∩ B) = P(A) × P_A(B).

Exemple : $45\%$45 % des clients achètent en ligne ($L$L) ; $80\%$80 % d'entre eux sont satisfaits ($S$S), contre $60\%$60 % des clients en magasin. Le chemin « en ligne et satisfait » a pour probabilité $0,45\times 0,8=0,36$0,45 × 0,8 = 0,36.

Formule des probabilités totales

Si $A$A et $\overline{A}$A̅ forment une partition de l'univers, on additionne les chemins qui mènent à $B$B :

$$P(B)=P(A)\times P_A(B)+P(\overline{A})\times P_{\overline{A}}(B)$$P(B) = P(A) × P_A(B) + P(A̅) × P_A̅(B)

Dans l'exemple : $P(S)=0,45\times 0,8+0,55\times 0,6=0,36+0,33=0,69$P(S) = 0,45 × 0,8 + 0,55 × 0,6 = 0,36 + 0,33 = 0,69.

Pour une partition en trois événements $A_1$A₁, $A_2$A₂, $A_3$A₃ (trois fournisseurs, trois machines) : $P(B)=P(A_1\cap B)+P(A_2\cap B)+P(A_3\cap B)$P(B) = P(A₁ ∩ B) + P(A₂ ∩ B) + P(A₃ ∩ B).

Inverser un conditionnement

Une fois $P(B)$P(B) connue, on obtient $P_B(A)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$P_B(A) = (P(A ∩ B))/P(B). Exemple d'un test de dépistage : maladie chez $2\%$2 % des personnes, test positif chez $95\%$95 % des malades et $3\%$3 % des personnes saines. Alors $P(T)=0,019+0,0294=0,0484$P(T) = 0,019 + 0,0294 = 0,0484 et $P_T(M)=\frac{0,019}{0,0484}\approx 0,39$P_T(M) = 0,019/0,0484 ≈ 0,39 : moins de $40\%$40 % des tests positifs correspondent à des malades.

Indépendance

Soit $A$A de probabilité non nulle. $B$B est indépendant de $A$A si savoir que $A$A est réalisé ne change pas sa probabilité :

$$P_A(B)=P(B)⟺P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$$P_A(B) = P(B) ⇔ P(A ∩ B) = P(A) × P(B)

La propriété est symétrique : on dit que $A$A et $B$B sont indépendants. Sur un arbre, cela se voit quand la branche $B$B porte la même probabilité après $A$A et après $\overline{A}$A̅.

Indépendance ≠ incompatibilité. Deux événements incompatibles ($A\cap B=\varnothing$A ∩ B = ∅) de probabilités non nulles ne sont jamais indépendants : savoir que l'un est réalisé rend l'autre impossible.

Erreurs fréquentes à éviter

• Confondre $P_A(B)$P_A(B) et $P_B(A)$P_B(A) : « $95\%$95 % des malades ont un test positif » ne veut pas dire « $95\%$95 % des tests positifs sont des malades ».
• Additionner des probabilités conditionnelles : $0,8+0,6$0,8 + 0,6 n'a aucun sens ; on pondère chaque taux par la taille de son groupe.
• Placer une probabilité conditionnelle au premier niveau de l'arbre.
• Diviser par l'effectif total au lieu de l'effectif de l'événement « sachant ».
• Confondre incompatibles et indépendants.

FAQ — Probabilités conditionnelles en Terminale STMG

Comment reconnaître une probabilité conditionnelle dans un énoncé ?

Les mots « parmi », « sachant que », « chez les », « pour les » annoncent une probabilité conditionnelle : « parmi les clients en ligne, $80\%$80 % sont satisfaits » donne $P_L(S)=0,8$P_L(S) = 0,8.

Que met-on sur les branches d'un arbre ?

Au premier niveau, des probabilités simples ; au second niveau, des probabilités conditionnelles, sachant l'événement du premier niveau. Les branches issues d'un même nœud ont une somme égale à $1$1.

Quand utiliser la formule des probabilités totales ?

Quand un événement peut se produire par plusieurs chemins de l'arbre : on calcule chaque chemin (produit des branches), puis on additionne.

Comment montrer que deux événements sont indépendants ?

On compare $P_A(B)$P_A(B) à $P(B)$P(B), ou $P(A\cap B)$P(A ∩ B) au produit $P(A)\times P(B)$P(A) × P(B). S'il y a égalité, les événements sont indépendants.