Exercices corrigés : Composition de fonctions — Terminale STI2D

Correction détaillée

1. 1

   $(v\circ u)(1)$(v∘ u)(1) signifie $v(u(1))$v(u(1)) : on applique d'abord $u$u, puis $v$v.

2. 2

   $u(1)=5$u(1) = 5, puis $v(5)=25$v(5) = 25.

   Donc $(v\circ u)(1)=25$(v∘ u)(1) = 25.

3. 3

   $(u\circ v)(1)=u(v(1))=u(1)=5$(u∘ v)(1) = u(v(1)) = u(1) = 5 (car $v(1)=1$v(1) = 1).

4. 4

   Les deux résultats DIFFÈRENT : la composition n'est pas commutative.

5. 5

   Expressions générales : $(v\circ u)(x)=v(2x+3)=(2x+3{)}^2$(v∘ u)(x) = v(2x+3) = (2x+3)².

6. 6

   $(u\circ v)(x)=u\left(x^2\right)=2x^2+3$(u∘ v)(x) = u(x²) = 2x² + 3.

7. 7

   Contrôle : $(2\times 1+3{)}^2=25$(2× 1 + 3)² = 25 ✔ et $2\times 1+3=5$2× 1 + 3 = 5 ✔.

Rappel de cours : $(v\circ u)(x)=v(u(x))$(v∘ u)(x) = v(u(x)) : on applique u D'ABORD. L'ordre compte.

Erreur fréquente : Lire $v\circ u$v∘ u de gauche à droite : c'est $u$u qui agit en premier, malgré sa position à droite.

Correction détaillée

1. 1

   $f(x)=(3x-1{)}^5$f(x) = (3x-1)⁵ : on calcule d'abord $3x-1$3x - 1, puis on élève à la puissance $5$5.

2. 2

   Donc $u(x)=3x-1$u(x) = 3x - 1 et $v(X)=X^5$v(X) = X⁵.

3. 3

   $g(x)=e^{4x}$g(x) = e^(4x) : d'abord $4x$4x, puis l'exponentielle.

   Donc $u(x)=4x$u(x) = 4x et $v(X)=e^X$v(X) = e^(X).

4. 4

   $h(x)=\sqrt{x^2+9}$h(x) = √(x²+9) : d'abord $x^2+9$x²+9, puis la racine.

   Donc $u(x)=x^2+9$u(x) = x² + 9 et $v(X)=\sqrt{X}$v(X) = √(X).

5. 5

   Méthode pratique : $u$u est ce qu'on calculerait EN PREMIER à la calculatrice, c'est-à-dire ce qui est « à l'intérieur ».

6. 6

   C'est cette décomposition qui rend la dérivation possible : $u^{\prime }$u' et $v^{\prime }$v' se dérivent séparément.

Rappel de cours : $u$u est la fonction INTÉRIEURE (ce qu'on calcule d'abord), $v$v la fonction extérieure.

Erreur fréquente : Décomposer $\sqrt{x^2+9}$√(x²+9) en $u=\sqrt{x}$u = √x et $v=X^2+9$v = X²+9 : cela donnerait ${\left(\sqrt{x}\right)}^2+9=x+9$( √x )² + 9 = x + 9, une autre fonction.

Correction détaillée

1. 1

   Règle : ${\left(u^n\right)}^{\prime }=n{u}^{\prime }{u}^{n-1}$(uⁿ)' = n u' uⁿ⁻¹.

2. 2

   $f$f : $u=3x-1$u = 3x - 1, $u^{\prime }=3$u' = 3, $n=5$n = 5.

   Donc $f^{\prime }(x)=5\times 3\times (3x-1{)}^4=15(3x-1{)}^4$f'(x) = 5× 3×(3x-1)⁴ = 15(3x-1)⁴.

3. 3

   $g$g : $u=x^2+1$u = x²+1, $u^{\prime }=2x$u' = 2x, $n=3$n = 3.

   Donc $g^{\prime }(x)=3\times 2x\times {\left(x^2+1\right)}^2=6x{\left(x^2+1\right)}^2$g'(x) = 3× 2x×(x²+1)² = 6x(x²+1)².

4. 4

   $h$h : $u=5-2x$u = 5 - 2x, $u^{\prime }=-2$u' = -2, $n=4$n = 4.

   Donc $h^{\prime }(x)=4\times (-2)\times (5-2x{)}^3=-8(5-2x{)}^3$h'(x) = 4×(-2)×(5-2x)³ = -8(5-2x)³.

5. 5

   Contrôle sur $f$f en $x=1$x = 1 : $f^{\prime }(1)=15\times 2^4=240$f'(1) = 15× 2⁴ = 240.

   Et par développement partiel, la pente de $(3x-1{)}^5$(3x-1)⁵ en $x=1$x = 1 est bien très forte ✔.

6. 6

   Le facteur $u^{\prime }$u' est l'élément systématiquement oublié : sans lui, $f^{\prime }$f' vaudrait $5(3x-1{)}^4$5(3x-1)⁴, trois fois trop petit.

Rappel de cours : ${\left(u^n\right)}^{\prime }=n{u}^{\prime }{u}^{n-1}$(uⁿ)' = n u' uⁿ⁻¹ : l'exposant descend, il diminue de $1$1, et l'on multiplie par $u^{\prime }$u'.

Erreur fréquente : Oublier $u^{\prime }$u' : c'est l'erreur numéro un de tout le chapitre, et elle fausse la dérivée d'un facteur constant.

Correction détaillée

1. 1

   Règle : ${\left(e^u\right)}^{\prime }=u^{\prime }{e}^u$(e^(u))' = u' e^(u).

2. 2

   $f$f : $u=-3t$u = -3t, $u^{\prime }=-3$u' = -3.

   Donc $f^{\prime }(t)=-3e^{-3t}$f'(t) = -3e^(-3t).

3. 3

   $g$g : $u=-\frac{t}{0,2}=-5t$u = -t/0,2 = -5t, $u^{\prime }=-5$u' = -5.

   Donc $g^{\prime }(t)=5\times (-5)e^{-5t}=-25e^{-5t}$g'(t) = 5×(-5)e^(-5t) = -25e^(-5t).

4. 4

   $h$h : $u=x^2$u = x², $u^{\prime }=2x$u' = 2x.

   Donc $h^{\prime }(x)=2x{e}^{x^2}$h'(x) = 2x e^(x²).

5. 5

   Signe de $h^{\prime }$h' : $e^{x^2}>0$e^(x²) > 0, donc $h^{\prime }$h' a le signe de $x$x — la fonction décroît sur les négatifs, croît sur les positifs, minimum en $0$0.

6. 6

   Remarque sur $g$g : le coefficient $-5$-5 est l'opposé de l'inverse de la constante de temps $0,2$0,2 s.

   C'est toujours ainsi qu'apparaît $\tau$τ dans une dérivée.

Rappel de cours : ${\left(e^u\right)}^{\prime }=u^{\prime }{e}^u$(e^(u))' = u'e^(u) : l'exponentielle reste, on multiplie par la dérivée de l'exposant.

Erreur fréquente : Dériver $e^{x^2}$e^(x²) en $e^{2x}$e^(2x) : l'exponentielle ne change JAMAIS, seul un facteur $u^{\prime }$u' apparaît devant.

Correction détaillée

1. 1

   Règles : ${\left(\cos u\right)}^{\prime }=-u^{\prime }\sin u$(cos u)' = -u'sin u et ${\left(\sin u\right)}^{\prime }=u^{\prime }\cos u$(sin u)' = u'cos u.

2. 2

   $f$f : $u=5t$u = 5t, $u^{\prime }=5$u' = 5.

   Donc $f^{\prime }(t)=-5\sin (5t)$f'(t) = -5sin(5t).

3. 3

   $g$g : $u=100\pi t+\phi$u = 100π t + φ, $u^{\prime }=100\pi$u' = 100π (la phase $\phi$φ est une constante).

   Donc $g^{\prime }(t)=100\pi \cos (100\pi t+\phi )$g'(t) = 100πcos(100π t + φ).

4. 4

   $h$h : $u=x^2$u = x², $u^{\prime }=2x$u' = 2x.

   Donc $h^{\prime }(x)=-2x\sin \left(x^2\right)$h'(x) = -2xsin(x²).

5. 5

   Application physique de $g$g : dériver un signal de pulsation $\omega$ω multiplie son amplitude par $\omega$ω.

   À $50$50 Hz, $\omega =100\pi \approx 314$ω = 100π ≈ 314.

6. 6

   Contrôle de $f$f en $t=0$t = 0 : $f^{\prime }(0)=-5\sin 0=0$f'(0) = -5sin 0 = 0 ✔ le cosinus démarre à son maximum, donc avec une tangente horizontale.

Rappel de cours : $(\cos u{)}^{\prime }=-u^{\prime }\sin u$(cos u)' = -u'sin u · $(\sin u{)}^{\prime }=u^{\prime }\cos u$(sin u)' = u'cos u : le signe moins reste attaché au cosinus dérivé.

Erreur fréquente : Oublier que $\phi$φ est constante : sa dérivée est nulle, elle n'apporte aucun facteur.

Correction détaillée

1. 1

   Règle : ${\left(\ln u\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}$(ln u)' = u'/u.

2. 2

   $f$f : $u=5x+2$u = 5x+2, $u^{\prime }=5$u' = 5.

   Donc $f^{\prime }(x)=\frac{5}{5x+2}$f'(x) = 5/(5x+2).

3. 3

   $g$g : $u=x^2+1$u = x²+1, $u^{\prime }=2x$u' = 2x.

   Donc $g^{\prime }(x)=\frac{2x}{x^2+1}$g'(x) = 2x/(x²+1).

4. 4

   $h$h : $u=e^x+1$u = e^(x)+1, $u^{\prime }=e^x$u' = e^(x).

   Donc $h^{\prime }(x)=\frac{e^x}{e^x+1}$h'(x) = e^(x)/(e^(x)+1).

5. 5

   Signe de $h^{\prime }$h' : numérateur et dénominateur sont strictement positifs, donc $h$h est croissante sur $\mathbb{R}$ℝ.

6. 6

   Remarque : $h^{\prime }(x)=\frac{e^x}{e^x+1}$h'(x) = e^(x)/(e^(x)+1) est toujours comprise entre $0$0 et $1$1.

   La fonction $h$h croît donc plus lentement que $x\mapsto x$x ↦ x.

Rappel de cours : ${\left(\ln u\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}$(ln u)' = u'/u : la dérivée de l'intérieur monte au numérateur.

Erreur fréquente : Écrire ${\left(\ln (x^2+1)\right)}^{\prime }=\frac{1}{x^2+1}$(ln(x²+1))' = 1/(x²+1) : il manque $u^{\prime }=2x$u' = 2x au numérateur.

Correction détaillée

1. 1

   Règle : ${\left(\sqrt{u}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}$( √u )' = u'/(2 √u ).

2. 2

   $f$f : $u=x^2+9$u = x²+9, $u^{\prime }=2x$u' = 2x.

   Donc $f^{\prime }(x)=\frac{2x}{2\sqrt{x^2+9}}=\frac{x}{\sqrt{x^2+9}}$f'(x) = 2x/(2√(x²+9)) = x/(√(x²+9)).

3. 3

   $g$g : $u=4x-3$u = 4x-3, $u^{\prime }=4$u' = 4.

   Donc $g^{\prime }(x)=\frac{4}{2\sqrt{4x-3}}=\frac{2}{\sqrt{4x-3}}$g'(x) = 4/(2√(4x-3)) = 2/(√(4x-3)).

4. 4

   $f^{\prime }(4)=\frac{4}{\sqrt{16+9}}=\frac{4}{\sqrt{25}}=\frac{4}{5}=0,8$f'(4) = 4/(√(16+9)) = 4/√(25) = 4/5 = 0,8.

5. 5

   Interprétation géométrique : $f(x)=\sqrt{x^2+9}$f(x) = √(x²+9) est la distance du point $(x;0)$(x ; 0) au point $(0;3)$(0 ; 3).

   Sa dérivée $0,8$0,8 en $x=4$x = 4 indique que cette distance croît de $0,8$0,8 unité par unité de $x$x.

6. 6

   Contrôle de cohérence : $f^{\prime }(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+9}}$f'(x) = x/(√(x²+9)) est toujours inférieure à $1$1 en valeur absolue, ce qui est logique — la distance croît moins vite que l'abscisse.

Rappel de cours : ${\left(\sqrt{u}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}$( √u )' = u'/(2 √u ) : la racine passe au dénominateur, avec un facteur $2$2.

Erreur fréquente : Écrire ${\left(\sqrt{x^2+9}\right)}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x^2+9}}$(√(x²+9))' = 1/(2√(x²+9)) : il manque $u^{\prime }=2x$u' = 2x, qui simplifie justement le $2$2.

Correction détaillée

1. 1

   Pour $f$f : on reconnaît la forme $u^{\prime }{e}^u$u'e^(u) avec $u=x^2$u = x² (dont la dérivée est bien $2x$2x).

2. 2

   Or ${\left(e^u\right)}^{\prime }=u^{\prime }{e}^u$(e^(u))' = u'e^(u), donc une primitive de $u^{\prime }{e}^u$u'e^(u) est $e^u$e^(u).

3. 3

   Une primitive de $f$f est donc $F(x)=e^{x^2}$F(x) = e^(x²).

4. 4

   Contrôle : $F^{\prime }(x)=2x{e}^{x^2}=f(x)$F'(x) = 2x e^(x²) = f(x) ✔.

5. 5

   Pour $g$g : on reconnaît $u^{\prime }{e}^u$u'e^(u) avec $u=-3t$u = -3t (de dérivée $-3$-3).

6. 6

   Une primitive est donc $G(t)=e^{-3t}$G(t) = e^(-3t).

7. 7

   Contrôle : $G^{\prime }(t)=-3e^{-3t}=g(t)$G'(t) = -3e^(-3t) = g(t) ✔.

8. 8

   Méthode générale : devant une expression contenant une exponentielle, on cherche si le facteur qui la précède est exactement la dérivée de l'exposant.

   Si oui, la primitive est immédiate.

Rappel de cours : Primitive de $u^{\prime }{e}^u$u'e^(u) : $e^u$e^(u). C'est la règle de dérivation lue à l'envers.

Erreur fréquente : Chercher une primitive de $e^{x^2}$e^(x²) seul : elle existe mais ne s'exprime pas avec les fonctions usuelles. C'est la présence du facteur $2x$2x qui rend le calcul possible.

Correction détaillée

1. 1

   Pour $f$f : on reconnaît $\frac{u^{\prime }}{u}$u'/u avec $u=x^2+1$u = x²+1, de dérivée $2x$2x.

2. 2

   Or ${\left(\ln u\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}$(ln u)' = u'/u, donc une primitive est $F(x)=\ln \left(x^2+1\right)$F(x) = ln(x²+1).

3. 3

   La condition $u>0$u > 0 est bien vérifiée, puisque $x^2+1\ge 1$x²+1 ≥ 1.

4. 4

   Contrôle : $F^{\prime }(x)=\frac{2x}{x^2+1}=f(x)$F'(x) = 2x/(x²+1) = f(x) ✔.

5. 5

   Pour $g$g : $u=3x+5$u = 3x+5, de dérivée $3$3, donc $g=\frac{u^{\prime }}{u}$g = u'/u et $G(x)=\ln (3x+5)$G(x) = ln(3x+5).

6. 6

   Sur l'intervalle donné, $3x+5>0$3x + 5 > 0 ✔ la primitive est bien définie.

7. 7

   À retenir : la présence d'un logarithme dans une primitive signale toujours une forme $\frac{u^{\prime }}{u}$u'/u.

Rappel de cours : Primitive de $\frac{u^{\prime }}{u}$u'/u : $\ln u$ln u — à condition que $u>0$u > 0 sur l'intervalle.

Erreur fréquente : Oublier de vérifier le signe de $u$u : sur un intervalle où $u<0$u < 0, la primitive serait $\ln (-u)$ln(-u).

Correction détaillée

1. 1

   Pour $f$f : on reconnaît $u^{\prime }{u}^4$u'u⁴ avec $u=x^2+3$u = x²+3 (de dérivée $2x$2x).

2. 2

   Or une primitive de $u^{\prime }{u}^n$u'uⁿ est $\frac{u^{n+1}}{n+1}$uⁿ⁺¹/(n+1).

3. 3

   Donc $F(x)=\frac{{\left(x^2+3\right)}^5}{5}$F(x) = ((x²+3)⁵)/5.

4. 4

   Contrôle : $F^{\prime }(x)=\frac{5\times 2x{\left(x^2+3\right)}^4}{5}=2x{\left(x^2+3\right)}^4$F'(x) = (5× 2x(x²+3)⁴)/5 = 2x(x²+3)⁴ ✔.

5. 5

   Pour $g$g : ici $u=3x-1$u = 3x - 1, $u^{\prime }=3$u' = 3, et l'on a $g=6(3x-1{)}^5=2\times 3\times (3x-1{)}^5=2u^{\prime }{u}^5$g = 6(3x-1)⁵ = 2× 3×(3x-1)⁵ = 2 u'u⁵.

6. 6

   Une primitive de $u^{\prime }{u}^5$u'u⁵ est $\frac{u^6}{6}$u⁶/6, donc $G(x)=2\times \frac{(3x-1{)}^6}{6}=\frac{(3x-1{)}^6}{3}$G(x) = 2×((3x-1)⁶)/6 = ((3x-1)⁶)/3.

7. 7

   Contrôle : $G^{\prime }(x)=\frac{6\times 3(3x-1{)}^5}{3}=6(3x-1{)}^5$G'(x) = (6× 3(3x-1)⁵)/3 = 6(3x-1)⁵ ✔.

8. 8

   Technique : quand le facteur devant n'est pas exactement $u^{\prime }$u', on ajuste par un coefficient constant, comme ici le $2$2.

Rappel de cours : Primitive de $u^{\prime }{u}^n$u'uⁿ : $\frac{u^{n+1}}{n+1}$uⁿ⁺¹/(n+1) · si le facteur n'est pas exactement $u^{\prime }$u', on corrige par une constante.

Erreur fréquente : Écrire $F(x)=\frac{(x^2+3{)}^5}{5}\times 2x$F(x) = ((x²+3)⁵)/5× 2x : le facteur $2x$2x a DISPARU dans la primitive, il est déjà « consommé » par la règle.

Correction détaillée

1. 1

   Pour $f$f : forme $u^{\prime }\cos u$u'cos u avec $u=t^2$u = t² ($u^{\prime }=2t$u' = 2t).

   Or une primitive de $u^{\prime }\cos u$u'cos u est $\sin u$sin u.

2. 2

   Donc $F(t)=\sin \left(t^2\right)$F(t) = sin(t²).

   Contrôle : $F^{\prime }(t)=2t\cos \left(t^2\right)$F'(t) = 2tcos(t²) ✔.

3. 3

   Pour $g$g : $u=4t+1$u = 4t+1, $u^{\prime }=4$u' = 4, donc $g=u^{\prime }\cos u$g = u'cos u et $G(t)=\sin (4t+1)$G(t) = sin(4t+1).

4. 4

   Pour $h$h : forme $u^{\prime }\sin u$u'sin u avec $u=100\pi t$u = 100π t.

   Or une primitive de $u^{\prime }\sin u$u'sin u est $-\cos u$-cos u.

5. 5

   Donc $H(t)=-\cos (100\pi t)$H(t) = -cos(100π t).

   Contrôle : $H^{\prime }(t)=100\pi \sin (100\pi t)$H'(t) = 100πsin(100π t) ✔.

6. 6

   Remarque : $h$h est exactement la dérivée d'un signal $-\cos$-cos, ce qui explique que sa primitive soit si simple.

   En électricité, ces formes apparaissent dès qu'on intègre une tension ou un courant sinusoïdal.

7. 7

   Vigilance sur les signes : $\cos \to \sin$cos → sin sans signe, mais $\sin \to -\cos$sin → -cos.

   C'est l'inverse de la dérivation.

Rappel de cours : Primitive de $u^{\prime }\cos u$u'cos u : $\sin u$sin u · primitive de $u^{\prime }\sin u$u'sin u : $-\cos u$-cos u.

Erreur fréquente : Oublier le signe moins pour $u^{\prime }\sin u$u'sin u : la dérivée de $\sin u$sin u est $u^{\prime }\cos u$u'cos u, pas $u^{\prime }\sin u$u'sin u.

Correction détaillée

1. 1

   $u=-\frac{x^2}{2}$u = -x²/2, donc $u^{\prime }=-x$u' = -x.

2. 2

   $f^{\prime }(x)=-x{e}^{-x^2/2}$f'(x) = -x e^(-x²/2).

3. 3

   Signe : $e^{-x^2/2}>0$e^(-x²/2) > 0, donc $f^{\prime }$f' a le signe de $-x$-x.

4. 4

   $f^{\prime }(x)>0$f'(x) > 0 pour $x<0$x < 0 et $f^{\prime }(x)<0$f'(x) < 0 pour $x>0$x > 0 : $f$f croît puis décroît.

5. 5

   Maximum : $f(0)=e^0=1$f(0) = e⁰ = 1, atteint en $x=0$x = 0.

6. 6

   Limites : quand $|x|\to +\infty$|x| → +∞, $-\frac{x^2}{2}\to -\infty$-x²/2 → -∞, donc $f(x)\to 0$f(x) → 0.

7. 7

   La courbe est donc une « cloche » symétrique, de sommet $(0;1)$(0 ; 1), tendant vers $0$0 des deux côtés.

8. 8

   Valeurs : $f(1)=e^{-0,5}\approx 0,607$f(1) = e^(-0,5) ≈ 0,607 ; $f(2)=e^{-2}\approx 0,135$f(2) = e⁻² ≈ 0,135 ; $f(3)=e^{-4,5}\approx 0,011$f(3) = e^(-4,5) ≈ 0,011.

9. 9

   Cette fonction est la célèbre courbe de Gauss, omniprésente en métrologie (distribution des erreurs de mesure).

Rappel de cours : Pour $e^u$e^(u), le signe de la dérivée est celui de $u^{\prime }$u' : ici $-x$-x, d'où la cloche.

Erreur fréquente : Dériver $e^{-x^2/2}$e^(-x²/2) en $-x^2{e}^{-x^2/2}$-x²e^(-x²/2) : la dérivée de $-\frac{x^2}{2}$-x²/2 est $-x$-x, pas $-x^2$-x².

Correction détaillée

1. 1

   Première intégrale : une primitive de $2x{e}^{x^2}$2x e^(x²) est $e^{x^2}$e^(x²).

2. 2

   ${\int }_0^{1}2x{e}^{x^2}dx={\left[e^{x^2}\right]}_0^1=e^1-e^0=e-1\approx 1,718$∫₀¹2x e^(x²)dx = [e^(x²)]₀¹ = e¹ - e⁰ = e - 1 ≈ 1,718.

3. 3

   Seconde intégrale : une primitive de $\frac{2x}{x^2+1}$2x/(x²+1) est $\ln \left(x^2+1\right)$ln(x²+1).

4. 4

   ${\int }_0^2\frac{2x}{x^2+1}dx={\left[\ln \left(x^2+1\right)\right]}_0^2=\ln 5-\ln 1=\ln 5\approx 1,609$∫₀²2x/(x²+1)dx = [ln(x²+1)]₀² = ln 5 - ln 1 = ln 5 ≈ 1,609.

5. 5

   Contrôle de vraisemblance : sur $[0;2]$[0 ; 2], la fonction $\frac{2x}{x^2+1}$2x/(x²+1) est positive et majorée par $1$1 (son maximum vaut $1$1 en $x=1$x = 1), donc l'intégrale doit être inférieure à $2$2 ✔.

6. 6

   Méthode générale : on identifie la forme composée, on écrit la primitive, puis on évalue aux bornes.

   Aucun développement n'est nécessaire.

Rappel de cours : ${\int }_a^b{u}^{\prime }{e}^u={\left[e^u\right]}_a^b$∫ₐ^(b)u'e^(u) = [e^(u)]ₐ^(b) et ${\int }_a^b\frac{u^{\prime }}{u}={\left[\ln u\right]}_a^b$∫ₐ^(b)u'/u = [ln u]ₐ^(b).

Erreur fréquente : Évaluer $u$u au lieu de la primitive : ici il faut $e^{x^2}$e^(x²) aux bornes, pas $x^2$x².

Correction détaillée

1. 1

   Pour $f$f : la forme $u^{\prime }{e}^u$u'e^(u) exigerait $2x$2x, or l'on n'a que $x$x.

   On écrit donc $f(x)=\frac{1}{2}\times 2x{e}^{x^2}$f(x) = 1/2× 2x e^(x²).

2. 2

   Une primitive est donc $F(x)=\frac{1}{2}{e}^{x^2}$F(x) = 1/2e^(x²).

3. 3

   Contrôle : $F^{\prime }(x)=\frac{1}{2}\times 2x{e}^{x^2}=x{e}^{x^2}$F'(x) = 1/2× 2x e^(x²) = x e^(x²) ✔.

4. 4

   Pour $g$g : la forme $\frac{u^{\prime }}{u}$u'/u exigerait $2x$2x au numérateur.

   On écrit $g(x)=\frac{1}{2}\times \frac{2x}{x^2+4}$g(x) = 1/2×2x/(x²+4).

5. 5

   Donc $G(x)=\frac{1}{2}\ln \left(x^2+4\right)$G(x) = 1/2ln(x²+4).

6. 6

   Pour $h$h : la forme $u^{\prime }\sin u$u'sin u exigerait un facteur $2$2.

   On écrit $h(t)=\frac{1}{2}\times 2\sin (2t)$h(t) = 1/2× 2sin(2t).

7. 7

   Donc $H(t)=-\frac{1}{2}\cos (2t)$H(t) = -1/2cos(2t).

8. 8

   Contrôle : $H^{\prime }(t)=-\frac{1}{2}\times \left(-2\sin (2t)\right)=\sin (2t)$H'(t) = -1/2×(-2sin(2t)) = sin(2t) ✔.

9. 9

   Règle pratique : on complète mentalement le facteur manquant et l'on compense par son inverse à l'extérieur.

   Puis on VÉRIFIE toujours en dérivant.

Rappel de cours : Quand le facteur $u^{\prime }$u' est incomplet, on l'ajuste par une constante multiplicative et l'on compense à l'extérieur.

Erreur fréquente : Oublier de compenser : $e^{x^2}$e^(x²) a pour dérivée $2x{e}^{x^2}$2xe^(x²), soit le DOUBLE de la fonction visée.