Exercices types · Première spé maths

Les droites perpendiculaires — exercices types corrigés

10 exercices classés par difficulté. Cherche d'abord par toi-même, puis clique sur « Voir la correction » : chaque étape est détaillée et renvoie vers la formule utilisée.

Perpendiculaires

Niveau 1 · Application directe

Les droites

y = 2 x + 1

y = 2x + 1 et

y = - \frac{1}{2} x + 4

y = -1/2x + 4 sont-elles perpendiculaires ?

Voir la correction

1.
$m \times m^{'} = 2 \times (- \frac{1}{2})$ m × m' = 2 × (-1/2).
→ Condition de perpendicularité
2.
$= - 1$ = -1 : oui, perpendiculaires.

Réponse : Oui.

Non perpendiculaires

Niveau 1 · Application directe

Les droites

y = 2 x

y = 2x et

y = 3 x

y = 3x sont-elles perpendiculaires ?

Voir la correction

1.
$m \times m^{'} = 2 \times 3 = 6$ m × m' = 2 × 3 = 6.
→ Condition de perpendicularité
2.
$6 \neq = - 1$ 6 ≠ -1 : non perpendiculaires.

Réponse : Non.

Erreur fréquente : Croire que des coefficients différents suffisent : il faut $m \times m^{'} = - 1$ m× m'=-1.

Trouver le coefficient

Niveau 2 · Méthode complète

Quel coefficient directeur

m^{'}

m' rend une droite perpendiculaire à

y = 4 x + 1

y = 4x + 1 ?

Voir la correction

1.
On veut $4 \times m^{'} = - 1$ 4 × m' = -1.
→ Condition de perpendicularité
2.
$m^{'} = - \frac{1}{4}$ m' = -1/4.

Réponse :

m^{'} = - \frac{1}{4}

m' = -1/4.

Méthode utilisée : $m^{'} = - \frac{1}{m}$ m'=-1/m.

Erreur fréquente : Donner l'opposé $- 4$ -4 au lieu de l'opposé de l'inverse.

Coefficient perpendiculaire

Niveau 1 · Application directe

Quel est le coefficient directeur d'une droite perpendiculaire à

y = 2 x + 1

y=2x+1 ?

Voir la correction

1.
$m \times m^{'} = - 1 \Rightarrow m^{'} = - \frac{1}{2}$ m× m'=-1⇒ m'=-1/2.

Réponse :

- \frac{1}{2}

-1/2.

Méthode utilisée : Perpendiculaires $\Leftrightarrow m \times m^{'} = - 1$ ⇔ m× m'=-1 (repère orthonormé).

Erreur fréquente : Prendre l'opposé $- 2$ -2 au lieu de l'opposé de l'inverse.

Test direct

Niveau 1 · Application directe

Les droites

y = 2 x

y=2x et

y = - 0, 5 x + 3

y=-0,5x+3 sont-elles perpendiculaires ?

Voir la correction

1.
$2 \times (- 0, 5) = - 1$ 2×(-0,5)=-1.

Réponse : Oui.

Méthode utilisée : Produit des coefficients égal à $- 1$ -1.

Erreur fréquente : Croire que le produit doit valoir $0$ 0.

Construire une perpendiculaire

Niveau 2 · Méthode complète

Donner l'équation de la perpendiculaire à

y = 3 x - 1

y=3x-1 passant par

(0; 2)

(0 ;2).

Voir la correction

1.
$m^{'} = - \frac{1}{3}$ m'=-1/3, ordonnée à l'origine $2$ 2.

Réponse :

y = - \frac{1}{3} x + 2

y=-1/3x+2.

Méthode utilisée : Coefficient $- \frac{1}{m}$ -1/m puis on ajuste avec le point.

Erreur fréquente : Garder le coefficient $3$ 3.

Diagonales

Niveau 2 · Méthode complète

Les droites

y = - x + 4

y=-x+4 et

y = x - 2

y=x-2 sont-elles perpendiculaires ?

Voir la correction

1.
$(- 1) \times 1 = - 1$ (-1)× 1=-1.

Réponse : Oui.

Méthode utilisée : Produit des coefficients $= - 1$ =-1.

Erreur fréquente : Conclure « parallèles » car les coefficients sont opposés.

Paramètre (type contrôle)

Niveau 3 · Type contrôle

Pour quelle valeur de

m

m a-t-on

y = m x + 1 ⊥ y = 4 x - 2

y=mx+1⊥ y=4x-2 ?

Voir la correction

1.
$m \times 4 = - 1 \Rightarrow m = - \frac{1}{4}$ m× 4=-1⇒ m=-1/4.

Réponse :

m = - \frac{1}{4}

m=-1/4.

Méthode utilisée : Condition $m \times m^{'} = - 1$ m× m'=-1.

Erreur fréquente : Résoudre $m \times 4 = 1$ m× 4=1 (oubli du signe).

Test

Niveau 2 · Méthode complète

y = - 2 x

y=-2x et

y = 0, 5 x + 1

y=0,5x+1 : perpendiculaires ?

Voir la correction

1.
$- 2 \times 0, 5 = - 1$ -2× 0,5=-1.
→ Condition de perpendicularité

Réponse : Oui.

Méthode utilisée : $m \times m^{'} = - 1$ m× m'=-1.

Erreur fréquente : Attendre un produit nul.

Construire (type contrôle)

Niveau 3 · Type contrôle

Équation de la perpendiculaire à

y = 2 x - 1

y=2x-1 passant par

(4; 0)

(4 ;0).

Voir la correction

1.
$m^{'} = - \frac{1}{2}$ m'=-1/2.
→ Condition de perpendicularité
2.
$p = 0 - (- \frac{1}{2}) \times 4 = 2$ p=0-(-1/2)× 4=2, donc $y = - \frac{1}{2} x + 2$ y=-1/2 x+2.

Réponse :

y = - \frac{1}{2} x + 2

y=-1/2 x+2.

Méthode utilisée : Coefficient $- \frac{1}{m}$ -1/m puis point.

Erreur fréquente : Garder le coefficient $2$ 2.

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