Condition de perpendicularité : la formule et un exemple

Ce que dit la formule

Dans un repère orthonormé, deux droites non verticales $y = m x + p$ y = mx + p et $y = m^{'} x + p^{'}$ y = m'x + p' sont perpendiculaires si et seulement si $m \times m^{'} = - 1$ m × m' = -1.

On peut aussi vérifier que leurs vecteurs directeurs ont un produit scalaire nul.

Le produit vaut $- 1$ -1 et non $0$ 0 : les coefficients directeurs de deux droites perpendiculaires sont inverses et de signes contraires. Si l'une monte avec une pente de $2$ 2, l'autre descend avec une pente de $- \frac{1}{2}$ -1/2.

La condition suppose un repère orthonormé : dans un repère quelconque, les angles droits ne se lisent pas ainsi.

Exemple

y = 2 x + 1

y = 2x + 1 et

y = - \frac{1}{2} x + 4

y = -1/2x + 4 :

2 \times (- \frac{1}{2}) = - 1

2 × (-1/2) = -1 : perpendiculaires.

Deuxième exemple

y = - 3 x + 1

y = -3x + 1 et

y = \frac{1}{3} x - 2

y = 1/3x - 2 : le produit des coefficients vaut

- 3 \times \frac{1}{3} = - 1

-3 × 1/3 = -1, les droites sont donc perpendiculaires.

Piège à éviter

C'est

- 1

-1, pas

0

0 : le produit nul, c'est pour la colinéarité, pas l'orthogonalité.

Questions fréquentes

Pourquoi le produit vaut-il −1 et non 0 ?

Un produit nul caractérise l'orthogonalité de deux vecteurs via le produit scalaire, pas celle des pentes. Pour les coefficients directeurs, la condition est

m \times m^{'} = - 1

m × m' = -1.

Comment trouver la pente d'une perpendiculaire ?

On prend l'inverse changé de signe : perpendiculaire à une droite de pente

4

4, la pente vaut

- \frac{1}{4}

-1/4.

Le critère s'applique-t-il à une droite verticale ?

Non, une verticale n'a pas de coefficient directeur. Sa perpendiculaire est simplement horizontale, d'équation

y = k

y = k.

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