Notion

Les droites perpendiculaires

Deux droites sont perpendiculaires lorsqu'elles se coupent en formant un angle droit. Dans un repère orthonormé, cette propriété se lit sur les coefficients directeurs : deux droites non verticales de coefficients $m$ m et $m^{'}$ m' sont perpendiculaires si et seulement si $m \times m^{'} = - 1$ m× m'=-1. Autrement dit, l'un est l'opposé de l'inverse de l'autre : $m^{'} = - \frac{1}{m}$ m'=-1/m. Une droite verticale et une droite horizontale sont aussi perpendiculaires. On utilise cette condition pour déterminer l'équation d'une hauteur dans un triangle, d'une médiatrice ou de la tangente à un cercle ; plus tard, le produit scalaire généralise l'orthogonalité aux vecteurs.

Définitions

Droites perpendiculaires: Deux droites sont perpendiculaires si elles forment un angle droit. Leurs directions sont orthogonales.
Coefficients opposés inverses: Si une droite a pour coefficient $m \neq = 0$ m≠0, toute perpendiculaire a pour coefficient $m^{'} = - \frac{1}{m}$ m'=-1/m. Ainsi à $m = 2$ m=2 correspond $m^{'} = - \frac{1}{2}$ m'=-1/2, et $2 \times (- \frac{1}{2}) = - 1$ 2×(-1/2)=-1.

Formules

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Condition de perpendicularité →

m \times m^{'} = - 1 (rep \overset{e}{ˋ} re orthonorm \overset{e}{ˊ})

m × m' = -1 (repère orthonormé)Le produit des coefficients directeurs vaut −1.

Méthodes

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Démontrer que deux droites sont perpendiculaires →

3 étapes · exemple corrigé

Deux exercices pour vérifier

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Perpendiculaires

Niveau 1 · Application directe

Les droites

y = 2 x + 1

y = 2x + 1 et

y = - \frac{1}{2} x + 4

y = -1/2x + 4 sont-elles perpendiculaires ?

Voir la correction

1.
$m \times m^{'} = 2 \times (- \frac{1}{2})$ m × m' = 2 × (-1/2).
→ Condition de perpendicularité
2.
$= - 1$ = -1 : oui, perpendiculaires.

Réponse : Oui.

Non perpendiculaires

Niveau 1 · Application directe

Les droites

y = 2 x

y = 2x et

y = 3 x

y = 3x sont-elles perpendiculaires ?

Voir la correction

1.
$m \times m^{'} = 2 \times 3 = 6$ m × m' = 2 × 3 = 6.
→ Condition de perpendicularité
2.
$6 \neq = - 1$ 6 ≠ -1 : non perpendiculaires.

Réponse : Non.

Erreur fréquente : Croire que des coefficients différents suffisent : il faut $m \times m^{'} = - 1$ m× m'=-1.

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Questions fréquentes

Quand deux droites sont-elles perpendiculaires ?

Quand elles forment un angle droit. Dans un repère orthonormé, cela se vérifie au produit de leurs coefficients directeurs : il doit valoir −1.

Pourquoi le produit vaut −1 et pas 0 ?

Parce que 0 correspondrait à des directions « alignées » (colinéaires). Pour un angle droit, les pentes sont inverses et opposées : leur produit donne −1.

Comment trouver la pente perpendiculaire ?

On prend l'inverse changé de signe. Perpendiculaire à une pente 4 : m' = −1/4 (car 4 × (−1/4) = −1).

Quelle est la condition de perpendicularité de deux droites ?

Dans un repère orthonormé, deux droites de coefficients directeurs m et m' sont perpendiculaires si et seulement si m × m' = −1.

Comment trouver l'équation d'une perpendiculaire ?

On prend pour coefficient directeur l'opposé de l'inverse de l'autre (m' = −1/m), puis on détermine l'ordonnée à l'origine avec un point donné.

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