Homer Simpson a-t-il réfuté le théorème de Fermat ? Un faux contre-exemple et un critère de divisibilité

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En spécialité LLCER, nous avons étudié la culture populaire américaine à travers les séries, et The Simpsons en est un monument. J'ai découvert que plusieurs de ses scénaristes avaient des diplômes de mathématiques et cachaient des énigmes dans les épisodes. Dans l'un d'eux, Homer semble réfuter le dernier théorème de Fermat. J'ai voulu comprendre la blague, et montrer sans calculatrice que l'égalité est fausse.

L'enjeu et les notions du programme

Utiliser un critère de divisibilité pour réfuter une égalité, et comprendre les limites de la précision d'une calculatrice.

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. 1. Introduction

   1 min

   Le théorème de Fermat affirme que $x^n+y^n=z^n$xⁿ+yⁿ=zⁿ n'a pas de solution en entiers positifs pour $n\ge 3$n≥3 ; Andrew Wiles l'a démontré en 1994. Quatre ans plus tard, dans l'épisode « The Wizard of Evergreen Terrace », Homer écrit une égalité qui semble le contredire. Problématique : comment montrer qu'elle est fausse, alors qu'une calculatrice la confirme ?

2. 2. Mathématiques : précision et divisibilité

   4 min

   Le nombre $3987^{12}+4365^{12}$3987¹²+4365¹² a 44 chiffres. Il commence par 639 766 563 496, alors que $4472^{12}$4472¹² commence par 639 766 563 484. L'écart relatif vaut environ $2\times 10^{-11}$2×10⁻¹¹. Une calculatrice qui garde 10 chiffres significatifs affiche la même valeur pour les deux : elle ne peut pas trancher. La racine douzième du membre de gauche vaut environ $4472,000000007$4 472,000 000 007.

   Preuve sans calcul : un entier est divisible par 3 si la somme de ses chiffres l'est. $3+9+8+7=27$3+9+8+7=27 et $4+3+6+5=18$4+3+6+5=18 : 3987 et 4365 sont divisibles par 3. Leurs puissances aussi, et donc leur somme : le membre de gauche est un multiple de 3.

   $4+4+7+2=17$4+4+7+2=17, qui n'est pas divisible par 3 : 4472 n'est pas un multiple de 3. Comme 3 est premier, une puissance de 4472 n'est pas non plus un multiple de 3 (3 n'apparaît pas dans sa décomposition). Le membre de droite n'est donc pas divisible par 3 : l'égalité est impossible.

   Ce raisonnement illustre une méthode générale : pour réfuter une égalité entre entiers, il suffit de trouver une propriété (parité, divisibilité, dernier chiffre) que les deux membres ne partagent pas. Ici, la parité ne suffit pas (les deux membres sont pairs), ni le dernier chiffre (6 des deux côtés), mais la divisibilité par 3 conclut.

3. 3. In English: the mathematicians behind The Simpsons

   3 min

   The equation was written by David X. Cohen, a writer who studied physics and computer science at Harvard and Berkeley. In an interview, he explained that he wrote a computer program to find a "near miss": numbers that would fool anyone with an ordinary calculator. Several other writers of The Simpsons and of Futurama have degrees in mathematics, and the shows are full of hidden jokes, which Simon Singh described in his book The Simpsons and Their Mathematical Secrets (2013).

   Why would comedy writers hide mathematics in a cartoon? Partly for fun, and partly as a challenge to the most attentive viewers. The Simpsons, which started in 1989, is the longest-running American animated series, and it is often read as a satire of American society: the family, the school, the nuclear industry and the media. Its mathematical jokes show that popular culture and science are not necessarily opposed.

4. 4. Conclusion

   1,5 min

   Une calculatrice ne peut pas distinguer deux nombres qui diffèrent de $2\times 10^{-11}$2×10⁻¹¹ en valeur relative, mais le critère de divisibilité par 3 prouve que $3987^{12}+4365^{12}\ne 4472^{12}$3987¹²+4365¹²≠4472¹². La blague des Simpson illustre la différence entre vérifier numériquement et démontrer. J'ouvre sur les autres énigmes cachées dans la série Futurama.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Croire qu'une calculatrice prouve une égalité.
• Appliquer le critère de divisibilité au mauvais nombre.
• Oublier que le théorème de Fermat était déjà démontré.

Revoir les notions

• Nombres et calculs (Seconde) →
• Divisibilité et congruences (Terminale maths expertes) →

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