La célèbre scène du bar d'Un homme d'exception illustre-t-elle vraiment l'équilibre de Nash ?

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En spécialité LLCER, nous avons étudié la représentation de la science au cinéma, et A Beautiful Mind (2001), sur la vie du mathématicien John Nash, a remporté l'Oscar du meilleur film. Une scène dans un bar est censée montrer sa grande idée, l'équilibre qui porte son nom. En maths, j'ai découvert que de nombreux mathématiciens critiquent cette scène. J'ai voulu vérifier par le calcul.

L'enjeu et les notions du programme

Définir un équilibre de Nash, tester une situation par l'examen des écarts individuels et calculer un équilibre en stratégies mixtes.

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. 1. Introduction

   1 min

   John Nash a reçu le prix Nobel d'économie en 1994 pour sa notion d'équilibre, publiée en 1950. Le film la présente par une scène de bar où des étudiants veulent aborder des jeunes femmes. Problématique : le conseil de Nash dans le film correspond-il vraiment à un équilibre de Nash ?

2. 2. Mathématiques : tester l'équilibre

   4 min

   Modèle : quatre amis choisissent chacun d'aborder la jeune femme blonde ou l'une de ses amies. Si un seul aborde la blonde, il gagne 10 ; si plusieurs y vont, ils se gênent et gagnent 0 ; aborder une amie rapporte 5.

   Un équilibre de Nash est une situation où aucun joueur n'a intérêt à changer seul de stratégie, les autres gardant la leur.

   Situation proposée dans le film : tous abordent les amies, chacun gagne 5. Si l'un change seul et va vers la blonde, il est le seul et gagne 10 > 5. Il a intérêt à dévier : ce n'est pas un équilibre.

   Situation « tous vers la blonde » : chacun gagne 0 ; en déviant vers une amie, on gagne 5. Pas d'équilibre non plus. Les équilibres en stratégies pures sont ceux où exactement un ami aborde la blonde et les trois autres les amies : celui qui y va gagne 10 (en changeant, 5), les autres gagnent 5 (en changeant, ils iraient à deux vers la blonde et gagneraient 0).

   Stratégie mixte symétrique : chacun va vers la blonde avec la probabilité $p$p. À l'équilibre, les deux choix doivent rapporter autant en moyenne : aller vers la blonde rapporte $10\times (1-p{)}^3$10×(1-p)³ (gain seulement si les trois autres n'y vont pas). On résout $10(1-p{)}^3=5$10(1-p)³=5, soit $(1-p{)}^3=\frac{1}{2}$(1-p)³=1/2 et $p=1-2^{-1/3}\approx 0,21$p=1-2^(-1/3)≈0,21.

3. 3. In English: Hollywood and the mathematician

   3 min

   In the film, Russell Crowe's Nash explains: "If we all go for the blonde, we block each other, and not a single one of us is going to get her. So then we go for her friends, but they will all give us the cold shoulder, because nobody likes to be second choice." His solution is that nobody goes for the blonde. Many economists have pointed out that this is not a Nash equilibrium, because each player would want to deviate. The scene is closer to an idea of cooperation than to Nash's concept.

   The film, directed by Ron Howard, is based on Sylvia Nasar's biography. It was praised for its portrayal of schizophrenia, but it was also criticised for leaving out parts of Nash's life and for showing hallucinations that he did not actually have. It raises a question about biopics: how much can a film simplify science and a life to tell a powerful story? Nash himself said that the film was a fictional story inspired by his life.

4. 4. Conclusion

   1,5 min

   Si tous suivent le conseil du film, chacun gagne à dévier : ce n'est pas un équilibre. Les équilibres sont « un seul vers la blonde », ou une stratégie aléatoire de probabilité $1-2^{-1/3}\approx 21\%$1-2^(-1/3)≈21 %. Le cinéma simplifie la science pour la raconter. J'ouvre sur le dilemme du prisonnier, autre exemple célèbre de la théorie des jeux.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Confondre équilibre de Nash et optimum collectif.
• Oublier de tester les écarts d'un seul joueur.
• Présenter le film comme une explication fidèle.

Revoir les notions

• Variables aléatoires (Première spé maths) →
• Nombres et calculs (Seconde) →

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