« The limit does not exist » : Cady avait-elle raison dans Mean Girls ?

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En spécialité LLCER, nous avons étudié les représentations de l'adolescence dans le cinéma américain, et Mean Girls (2004), écrit par Tina Fey, est devenu culte. L'héroïne, Cady, gagne un concours de mathématiques en répondant « The limit does not exist ». La réplique est devenue un mème. En maths, j'ai voulu vérifier si elle avait vraiment raison, avec les outils de terminale.

L'enjeu et les notions du programme

Étudier une limite en 0 à l'aide d'approximations par les tangentes, et distinguer limite à gauche et limite à droite.

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. 1. Introduction

   1 min

   À la finale du concours, Cady et son adversaire doivent calculer la limite quand $x$x tend vers 0 de $\frac{\ln (1-x)-\sin x}{1-{\cos }^{2}x}$(ln(1-x)-sin x)/(1-cos²x). Son adversaire se trompe ; Cady remarque que le calcul n'aboutit à aucun nombre. Problématique : pourquoi cette limite n'existe-t-elle pas ?

2. 2. Mathématiques : approximations près de 0

   4 min

   En 0, numérateur et dénominateur valent 0 : $\ln 1-\sin 0=0$ln1-sin0=0 et $1-{\cos }^{2}0=0$1-cos²0=0. C'est une forme indéterminée.

   Approximations : la tangente en 0 de $x\mapsto \ln (1-x)$x↦ln(1-x) a pour pente $-\frac{1}{1-0}=-1$-1/(1-0)=-1, donc $\ln (1-x)\approx -x$ln(1-x)≈-x. La tangente de $\sin$sin en 0 a pour pente $\cos 0=1$cos0=1, donc $\sin x\approx x$sin x≈ x. Le numérateur est proche de $-x-x=-2x$-x-x=-2x.

   Dénominateur : $1-{\cos }^{2}x={\sin }^{2}x\approx x^2$1-cos²x=sin²x≈ x².

   Le quotient se comporte comme $\frac{-2x}{x^2}=-\frac{2}{x}$(-2x)/x²=-2/x. Quand $x$x tend vers 0 par valeurs positives, $-\frac{2}{x}\to -\infty$-2/x→-∞ ; par valeurs négatives, $-\frac{2}{x}\to +\infty$-2/x→+∞.

   Vérification numérique : pour $x=0,01$x=0,01, le quotient vaut environ $-200$-200 ; pour $x=-0,01$x=-0,01, environ $+200$+200. La limite à droite et la limite à gauche sont différentes (et infinies) : la limite en 0 n'existe pas. Cady a raison.

   Une limite existe si la fonction s'approche d'une même valeur (ou d'un même infini) des deux côtés. Un exemple plus simple : $\frac{1}{x}$1/x n'a pas de limite en 0, car elle tend vers $+\infty$+∞ à droite et $-\infty$-∞ à gauche.

3. 3. In English: "Math is the same in every country"

   3 min

   Cady Heron, who grew up in Africa and was home-schooled, discovers the cruel social hierarchy of an American high school, dominated by "the Plastics". She pretends to be bad at math to attract a boy, before accepting who she is. She explains: "I like math because it's the same in every country."

   The film was written by Tina Fey, inspired by Rosalind Wiseman's book Queen Bees and Wannabes, about the social life of teenage girls. It satirises stereotypes, including the idea that girls who like mathematics are not "cool". The line "The limit does not exist" has become a popular meme, often used to mean "there is no limit". Ironically, this is a misinterpretation: in the film, the line is mathematically precise. The scene suggests that knowing mathematics can be a source of confidence and identity.

4. 4. Conclusion

   1,5 min

   Le quotient se comporte comme $-\frac{2}{x}$-2/x près de 0, qui tend vers $-\infty$-∞ à droite et $+\infty$+∞ à gauche : la limite n'existe pas. Les approximations par les tangentes montrent que la réplique culte de Cady est mathématiquement juste. J'ouvre sur les développements limités, qui rendent ces approximations rigoureuses.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Conclure trop vite à une limite infinie unique.
• Oublier d'étudier les deux côtés.
• Remplacer les fonctions par leurs approximations sans le dire.

Revoir les notions

• Limites de fonctions (Terminale spé maths) →
• Dérivation locale (Première spé maths) →

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