Comment a-t-on cassé le chiffre de Vigenère, réputé « indéchiffrable » pendant trois siècles ?

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En HGGSP, j'ai découvert que le chiffre de Vigenère, décrit au XVIᵉ siècle, a été surnommé « le chiffre indéchiffrable » et utilisé jusqu'à la guerre de Sécession. Il a pourtant été cassé au XIXᵉ siècle par Charles Babbage et Friedrich Kasiski. J'ai voulu comprendre comment, et j'ai découvert que la clé de l'attaque est un calcul de PGCD.

L'enjeu et les notions du programme

Utiliser les diviseurs communs et le PGCD pour déterminer une période, puis réduire un chiffre complexe à plusieurs chiffres simples.

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. 1. Introduction

   1 min

   Le chiffre de Vigenère chiffre chaque lettre avec un décalage donné par une lettre de la clé, que l'on répète. Avec la clé ROI (17, 14, 8), la 1ʳᵉ lettre est décalée de 17, la 2ᵉ de 14, la 3ᵉ de 8, la 4ᵉ à nouveau de 17… Problématique : comment ce chiffre, qui brouille les fréquences, a-t-il pu être cassé ?

2. 2. Mathématiques : trouver la longueur de la clé

   4 min

   La faiblesse : la clé se répète avec une période $L$L, sa longueur. Si une même séquence de lettres claires (par exemple « LES ») apparaît deux fois à des positions qui diffèrent d'un multiple de $L$L, elle est chiffrée avec les mêmes décalages et donne la même séquence chiffrée.

   Test de Kasiski : on repère dans le texte chiffré des séquences répétées de trois lettres ou plus et l'on mesure les distances qui les séparent. Ces distances sont, le plus souvent, des multiples de $L$L. Si l'on observe des distances de 30, 45 et 75, la longueur divise leur PGCD : $\text{PGCD}(30,45,75)=15$PGCD (30,45,75)=15. Donc $L$L vaut 3, 5 ou 15 (ou 1, exclu). L'indice de coïncidence permet ensuite de choisir : avec la bonne longueur, chaque sous-texte retrouve l'indice du français.

   Une fois $L$L connu, on regroupe les lettres de rang 1, $L+1$L+1, $2L+1$2L+1… : elles ont toutes été chiffrées avec le même décalage. Chaque groupe est un simple chiffre de César, que l'on casse par l'analyse des fréquences (la lettre la plus fréquente correspond probablement à E).

3. 3. HGGSP : du chiffre diplomatique au télégraphe

   3 min

   Le chiffre de Vigenère a été utilisé par les diplomaties européennes et pendant la guerre de Sécession américaine par les Confédérés, dont les messages ont souvent été déchiffrés par l'Union. Babbage l'aurait cassé vers 1854 sans publier ; Kasiski publie sa méthode en 1863.

   L'essor du télégraphe, qui faisait passer les messages par des opérateurs, a rendu le chiffrement indispensable aux États et aux entreprises. Chaque progrès du chiffrement a appelé une nouvelle cryptanalyse : une course permanente entre ceux qui cachent et ceux qui cherchent, au cœur du renseignement.

4. 4. Conclusion

   1,5 min

   Le chiffre de Vigenère a été cassé en observant que les répétitions se produisent à des distances multiples de la longueur de la clé : un PGCD donne cette longueur, et le message se réduit à plusieurs chiffres de César. Des outils d'arithmétique de seconde ont vaincu le chiffre « indéchiffrable ». J'ouvre sur Enigma, qui a multiplié les alphabets à l'aide de rotors.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Prendre la longueur de la clé égale au PGCD sans considérer ses diviseurs.
• Oublier que les répétitions fortuites existent.
• Croire que la clé est trouvée en même temps que sa longueur.

Revoir les notions

• Nombres et calculs (Seconde) →
• Statistiques descriptives (Seconde) →

Autres questions : renseignement et codes secrets

• Le chiffre de César protégeait-il vraiment les messages de l'armée romaine ?
• Comment un cryptanalyste peut-il savoir, sans le déchiffrer, qu'un message est écrit en français ?
• Pourquoi les Allemands croyaient-ils Enigma impossible à casser ?
• Comment une seule faiblesse d'Enigma a-t-elle permis aux Alliés de la vaincre ?

Toutes les questions maths-hggsp →