Comment un cryptanalyste peut-il savoir, sans le déchiffrer, qu'un message est écrit en français ?

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En HGGSP, nous avons étudié la naissance du renseignement moderne pendant les guerres mondiales. J'ai découvert que l'Américain William Friedman avait inventé en 1922 un outil statistique pour analyser les messages chiffrés sans les lire : l'indice de coïncidence. J'ai été surpris qu'un simple calcul de probabilité permette de deviner la langue d'un texte chiffré ou la méthode de chiffrement.

L'enjeu et les notions du programme

Calculer une probabilité d'égalité de deux tirages par une somme de carrés et l'utiliser comme outil de diagnostic.

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. 1. Introduction

   1 min

   Un cryptanalyste intercepte un message chiffré. Avant de chercher la clé, il veut savoir quel type de chiffre a été utilisé et dans quelle langue est le texte. Problématique : un calcul statistique peut-il le renseigner sans déchiffrer ?

2. 2. Mathématiques : la probabilité de deux lettres égales

   4 min

   On tire deux lettres au hasard dans un texte (avec remise, pour simplifier). Si la lettre $i$i a la fréquence $p_i$pᵢ, la probabilité que les deux soient la lettre $i$i vaut $p_i^2$pᵢ². Les événements « deux A », « deux B »… sont incompatibles : la probabilité que les deux lettres soient identiques est $IC=\sum p_i^2$IC=Σ pᵢ².

   Lettres équiprobables : $26\times {\left(\frac{1}{26}\right)}^2=\frac{1}{26}\approx 0,038$26×(1/26)²=1/26≈0,038, la plus petite valeur possible. Texte français : les lettres sont très inégales (E près de 15 %, puis A, S, I, N, T vers 7 %…) : on mesure $IC\approx 0,078$IC≈0,078. En anglais, environ 0,067.

   Propriété clé : une substitution simple (César, ou toute permutation de l'alphabet) ne fait que renommer les lettres. Les fréquences sont permutées, mais leur somme de carrés est inchangée : l'indice du chiffré reste 0,078.

   Un chiffre polyalphabétique (comme Vigenère) mélange plusieurs alphabets : les fréquences s'égalisent et l'indice se rapproche de 0,038. L'indice indique donc la famille du chiffre, et même, pour Vigenère, la longueur de la clé : en ne gardant qu'une lettre sur $n$n, on retrouve l'indice du français quand $n$n est la bonne longueur.

3. 3. HGGSP : naissance du renseignement scientifique

   3 min

   William Friedman, souvent considéré comme le père de la cryptologie américaine moderne, publie cette méthode en 1922. Avec son épouse Elizebeth Friedman, elle aussi cryptanalyste, il a déchiffré des codes de trafiquants pendant la Prohibition, puis contribué au déchiffrement du code diplomatique japonais « Purple » avant Pearl Harbor.

   L'indice de coïncidence marque le passage d'une cryptanalyse artisanale à une science statistique. Le renseignement devient affaire d'équipes de mathématiciens, comme à Bletchley Park au Royaume-Uni, préfigurant les grandes agences de renseignement de la guerre froide.

4. 4. Conclusion

   1,5 min

   L'indice de coïncidence $\sum p_i^2$Σ pᵢ² vaut environ 0,078 pour le français et 0,038 pour des lettres aléatoires ; il est conservé par les substitutions et abaissé par les chiffres polyalphabétiques. Un calcul de probabilité renseigne sur un message sans le déchiffrer. J'ouvre sur l'attaque du chiffre de Vigenère, qui utilise cet indice.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Croire que l'indice permet de lire le message.
• Confondre l'indice d'un texte et la fréquence d'une lettre.
• Oublier que l'indice est conservé par une substitution.

Revoir les notions

• Variables aléatoires (Première spé maths) →
• Probabilités (introduction) (Seconde) →

Autres questions : renseignement et codes secrets

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